53-58 Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função $ v = e{x{y}} $. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e suas regras. Precisaremos aplicar a regra da cadeia e a regra do produto para derivar funções que envolvem potências e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial mede como a função muda em relação a uma variável, mantendo as outras constantes. Aqui, nossas variáveis são $ x $ e $ y $.
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de $ v $ em relação a $ x $, ou seja, $ v_x $.
A função é $ v = e{x{y}} $. Para derivar em relação a $ x $, tratamos $ y $ como constante.
A derivada de $ e^{u} $ em relação a $ x $ é $ e^{u} \cdot u_x $, onde $ u = x^{y} $.
Então:
Sabemos que $ \frac{\partial}{\partial x} (x^{y}) = y \cdot x^{y-1} $, já que $ y $ é constante.
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de $ v $ em relação a $ x $ novamente, ou seja, $ v_{xx} $.
Usamos a expressão que encontramos para $ v_x $:
Para derivar isso em relação a $ x $, aplicamos a regra do produto, já que temos três fatores: $ y $, $ x^{y-1} $ e $ e{x{y}} $.
Primeiro, derivamos $ x^{y-1} $:
Segundo, derivamos $ e{x{y}} $:
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de $ v $ em relação a $ y $, ou seja, $ v_y $.
A função é $ v = e{x{y}} $. Para derivar em relação a $ y $, tratamos $ x $ como constante.
A derivada de $ e^{u} $ em relação a $ y $ é $ e^{u} \cdot u_y $, onde $ u = x^{y} $.
Então:
Sabemos que $ \frac{\partial}{\partial y} (x^{y}) = x^{y} \cdot \ln(x) $.
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de $ v $ em relação a $ y $ novamente, ou seja, $ v_{yy} $.
Usamos a expressão que encontramos para $ v_y $:
Para derivar isso em relação a $ y $, aplicamos a regra do produto, já que temos três fatores: $ x^{y} $, $ \ln(x) $ e $ e{x{y}} $.
Primeiro, derivamos $ x^{y} $:
Segundo, derivamos $ e{x{y}} $:
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial mista de $ v $, ou seja, $ v_{xy} $ e $ v_{yx} $. Como $ v $ é uma função suficientemente suave, temos que $ v_{xy} = v_{yx} $.
Vamos derivar $ v_x $ em relação a $ y $:
Derivando em relação a $ y $:
Aplicamos a regra do produto:
Derivando $ x^{y-1} \cdot e{x{y}} $ em relação a $ y $:
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função $ v = e{x{y}} $ são: