53-58 Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
v=e^x^y

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função $ v = e{x{y}} $. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e suas regras. Precisaremos aplicar a regra da cadeia e a regra do produto para derivar funções que envolvem potências e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial mede como a função muda em relação a uma variável, mantendo as outras constantes. Aqui, nossas variáveis são $ x $ e $ y $.
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de $ v $ em relação a $ x $, ou seja, $ v_x $.
A função é $ v = e{x{y}} $. Para derivar em relação a $ x $, tratamos $ y $ como constante.
A derivada de $ e^{u} $ em relação a $ x $ é $ e^{u} \cdot u_x $, onde $ u = x^{y} $.
Então:
x
Sabemos que $ \frac{\partial}{\partial x} (x^{y}) = y \cdot x^{y-1} $, já que $ y $ é constante.
Portanto:
y

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de $ v $ em relação a $ x $ novamente, ou seja, $ v_{xx} $.
Usamos a expressão que encontramos para $ v_x $:
v
Para derivar isso em relação a $ x $, aplicamos a regra do produto, já que temos três fatores: $ y $, $ x^{y-1} $ e $ e{x{y}} $.
Primeiro, derivamos $ x^{y-1} $:
x
Segundo, derivamos $ e{x{y}} $:
vxx
Agora, aplicando a regra do produto:
vx
Simplificando:
vx = y cdot x^y-1 cdot e^x^y

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de $ v $ em relação a $ y $, ou seja, $ v_y $.
A função é $ v = e{x{y}} $. Para derivar em relação a $ y $, tratamos $ x $ como constante.
A derivada de $ e^{u} $ em relação a $ y $ é $ e^{u} \cdot u_y $, onde $ u = x^{y} $.
Então:
v
Sabemos que $ \frac{\partial}{\partial y} (x^{y}) = x^{y} \cdot \ln(x) $.
Portanto:
y

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de $ v $ em relação a $ y $ novamente, ou seja, $ v_{yy} $.
Usamos a expressão que encontramos para $ v_y $:
v
Para derivar isso em relação a $ y $, aplicamos a regra do produto, já que temos três fatores: $ x^{y} $, $ \ln(x) $ e $ e{x{y}} $.
Primeiro, derivamos $ x^{y} $:
y
Segundo, derivamos $ e{x{y}} $:
vyy
Agora, aplicando a regra do produto:
vy
Simplificando:
vy = x^y cdot ln(x) cdot e^x^y
y

Passo 6

Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial mista de $ v $, ou seja, $ v_{xy} $ e $ v_{yx} $. Como $ v $ é uma função suficientemente suave, temos que $ v_{xy} = v_{yx} $.
Vamos derivar $ v_x $ em relação a $ y $:
v
Derivando em relação a $ y $:
vxy
Aplicamos a regra do produto:
vyx
Derivando $ x^{y-1} \cdot e{x{y}} $ em relação a $ y $:
v
Portanto:
vxy = vyx

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função $ v = e{x{y}} $ são:
v = e^x^y
vxx = y cdot e^x^y ( (y-1) cdot x^y-2 + y cdot x^2y-2 )
vyy = ln(x) cdot e^x^y cdot x^y cdot ln(x) cdot (1 + x^y)

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