Calcule d Fd t e d^2 Fd t^2 e em seguida determine a equação da reta tangente à trajetória das funçães dadas nos pontos solicitados:
© F(t)=(t, arcsin t) e F(0) e F(1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas primeira e segunda de uma função vetorial F(t) = (t,,arcsin t) e, em seguida, determinar a equação da reta tangente à sua trajetória nos pontos t=0 e t=1. O conteúdo envolve derivada de função vetorial e a derivada da função arcsin t.

Passo 2

Para encontrar F'(t), derivamos cada componente separadamente. A derivada de t em relação a t é 1, e a derivada de arcsin t é 1raiz1-t^2. Logo,
F'(t) = l(1,,tfrac1raiz1-t^2r)

Passo 3

Para obter F''(t), derivamos novamente cada componente de F'(t). A derivada de 1 é 0, e usando a regra da cadeia na segunda componente, temos
ddtl(tfrac1raiz1-t^2r) = t(1-t^2)^3/2 Portanto,
F''(t) = l(0,,tfract(1-t^2)^3/2r)

Passo 4

Para a reta tangente em t=0, avaliamos: F(0) = (0,0) e F'(0) = (1,1). A inclinação da reta é m=1, então a equação é
y - 0 = 1,(x - 0) Rightarrow y = x

Passo 5

Para a reta tangente em t=1, avaliamos: F(1) = (1,,tfracpi2) e F'(1) = (1,,tfrac1raiz1-1^2), que é infinito na segunda componente. Isso indica reta vertical passando por x=1.

Resposta

As derivadas são
F'(t) = (1,,tfrac1raiz1-t^2) e F''(t) = (0,,tfract(1-t^2)^3/2).
A reta tangente em F(0) é y=x e a reta tangente em F(1) é x=1.

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