Determine a integral integral (x^-1+x)^2x^2 d x :

Passo 1

Vamos resolver a integral integral (x^-1 + x)^2x^2 , dx. Aqui, vamos usar conceitos de álgebra para expandir a expressão e, em seguida, aplicar regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o numerador (x^-1 + x)^2. Usamos a fórmula (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2:
(x^-1 + x)^2 = x^-2 + 2 cdot x^-1 cdot x + x^2 = x^-2 + 2 + x^2

Passo 3

Substituímos a expressão expandida na integral:
integral x^-2 + 2 + x^2x^2 , dx
Agora, dividimos cada termo do numerador por x^2:
integral ( x^-2x^2 + 2x^2 + x^2x^2 ) , dx = integral ( x^-4 + 2x^-2 + 1 ) , dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral x^-4 , dx = x^-3-3 + C = -13x^3 + C
integral 2x^-2 , dx = 2 cdot x^-1-1 + C = -2x + C
integral 1 , dx = x + C

Passo 5

Juntando todas as integrais, temos:
-13x^3 - 2x + x + C

Resposta

A integral é -13x^3 - 2x + x + C.

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