Determine a integral integral 3 x^2-2 x+5raiz[4]x d x.

Passo 1

Então, a gente tem uma integral para resolver: integral 3x^2 - 2x + 5raiz[4]x , dx. Nesse caso, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais envolvendo funções algébricas. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de potências e regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Sabemos que raiz[4]x é o mesmo que x^1/4. Então, podemos reescrever o denominador como x^1/4. Assim, a integral fica:
integral 3x^2 - 2x + 5x^1/4 , dx

Passo 3

Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador x^1/4. Isso significa que vamos subtrair os expoentes quando dividimos potências com a mesma base. Então:
3x^2x^1/4 = 3x^2 - 14 = 3x^74
-2xx^1/4 = -2x^1 - 14 = -2x^34
5x^1/4 = 5x^-14
Assim, a integral fica:
integral (3x^74 - 2x^34 + 5x^-14) , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente usando a regra da potência, que diz que integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração.
Integrando cada termo:
integral 3x^74 , dx = 3 cdot x^114114 = 1211x^114
integral -2x^34 , dx = -2 cdot x^7474 = -87x^74
integral 5x^-14 , dx = 5 cdot x^3434 = 203x^34

Resposta

Portanto, a integral é igual a:
1211x^114 - 87x^74 + 203x^34 + C

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