…53 Uma distribuição de cargas nāo-uniforme, mas com simetria esférica, produz um campo elétrico de módulo E=K r^2. onde K é uma constante e r é a distância do centro da esfera. O campo aponta para longe do centro da esfera. Qual ê a distribuicão volumétrica de cargas rho ?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem uma distribuição de cargas que não é uniforme, mas tem simetria esférica, ou seja, é igual em todas as direções a partir do centro. Essa distribuição cria um campo elétrico cujo módulo é dado por $ E = K r^{2} $, onde $ K $ é uma constante e $ r $ é a distância do centro da esfera. O campo aponta para longe do centro. A pergunta é: qual é a distribuição volumétrica de cargas $ \rho $?
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a carga que está distribuída num determinado volume. Vamos seguir passo a passo para encontrar $ \rho $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga total dentro dessa superfície. Para simetria esférica, a lei fica assim:
E cdot 4pi r^2 = Qencvarepsilon0
Aqui, $ E $ é o campo elétrico, $ r $ é o raio da esfera imaginária que estamos considerando, $ Q_{enc} $ é a carga total dentro dessa esfera, e $ \varepsilon_{0} $ é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Vamos isolar $ Q_{enc} $ na equação:
Qenc
Sabemos que $ E = K r^{2} $, então substituindo:
Qenc = E cdot 4pi r^2 cdot varepsilon0

Passo 4

Agora, queremos encontrar a densidade volumétrica de carga $ \rho $, que é a carga por unidade de volume. Para isso, vamos derivar $ Q_{enc} $ em relação a $ r $:
rho
Calculando a derivada:
Qenc

Passo 5

Substituindo na fórmula de $ \rho® $:
rho(r)

Resposta

A distribuição volumétrica de cargas é $ \rho® = 4, \varepsilon_{0}, K, r $.

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