…53 Uma distribuição de cargas nāo-uniforme, mas com simetria esférica, produz um campo elétrico de módulo
. onde
é uma constante e
é a distância do centro da esfera. O campo aponta para longe do centro da esfera. Qual ê a distribuicão volumétrica de cargas
?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem uma distribuição de cargas que não é uniforme, mas tem simetria esférica, ou seja, é igual em todas as direções a partir do centro. Essa distribuição cria um campo elétrico cujo módulo é dado por $ E = K r^{2} $, onde $ K $ é uma constante e $ r $ é a distância do centro da esfera. O campo aponta para longe do centro. A pergunta é: qual é a distribuição volumétrica de cargas $ \rho $?
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico com a carga que está distribuída num determinado volume. Vamos seguir passo a passo para encontrar $ \rho $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga total dentro dessa superfície. Para simetria esférica, a lei fica assim:
Aqui, $ E $ é o campo elétrico, $ r $ é o raio da esfera imaginária que estamos considerando, $ Q_{enc} $ é a carga total dentro dessa esfera, e $ \varepsilon_{0} $ é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Vamos isolar $ Q_{enc} $ na equação:
Sabemos que $ E = K r^{2} $, então substituindo:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a densidade volumétrica de carga $ \rho $, que é a carga por unidade de volume. Para isso, vamos derivar $ Q_{enc} $ em relação a $ r $:
Calculando a derivada:
Passo 5
Substituindo na fórmula de $ \rho® $:
Resposta
A distribuição volumétrica de cargas é $ \rho® = 4, \varepsilon_{0}, K, r $.