Num certo cenário, o estado fundamental de uma partícula quântica é descrito pela função de onda
psi0(x)=A0 e^-m omega x^2 / 2 hbar
calcule: lang<= x^2rang<=.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica quântica juntos! A gente tem que calcular a expectativa de $ x^2 $, ou seja, $ \left\langle x^{2}\right\rangle $, para o estado fundamental de uma partícula quântica. A função de onda do estado fundamental é dada por:
x^2
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções de onda normalizadas e como calcular expectativas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função de onda esteja normalizada. Isso significa que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
integral-infty^+infty |psi0(x)|^2 dx = 1
Vamos calcular essa integral para encontrar o valor de $ A_{0} $.

Passo 3

Substituindo $ \psi_{0}(x) $ na integral de normalização:
psi0(x)
Como $ A_{0} $ é uma constante real, podemos tirá-lo da integral:
integral-infty^+infty |A0|^2 e^-m omega x^2 / hbar dx = 1

Passo 4

A integral que temos é uma integral de Gauss, que é conhecida e igual a $ \sqrt{\pi / (m \omega / \hbar)} $. Então:
raizpi / (m omega / hbar)
Resolvendo para $ A_{0} $:
A0^2 raizpi hbarm omega = 1

Passo 5

Agora que temos $ A_{0} $, vamos calcular a expectativa $ \left\langle x^{2}\right\rangle $ que é dada por:
A0
Substituindo $ \psi_{0}(x) $:
lang<= x^2rang<=

Passo 6

A integral que precisamos calcular agora é:
integral-infty^+infty x^2 e^-a x^2 dx = raizpi2 a^3/2
onde $ a = \frac{m \omega}{\hbar} $. Então:
a = m omegahbar

Passo 7

Substituindo $ A_{0}^{2} = \left(\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right)^{1/2} $:
A0^2 = (m omegapi hbar)^1/2
Simplificando os termos:
lang<= x^2rang<= = (m omegapi hbar)^1/2 cdot raizpi2 (hbarm omega)^3/2

Resposta

Então, a expectativa de $ x^{2} $ é:
x^2

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