Num certo cenário, o estado fundamental de uma partícula quântica é descrito pela função de onda
calcule:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica quântica juntos! A gente tem que calcular a expectativa de $ x^2 $, ou seja, $ \left\langle x^{2}\right\rangle $, para o estado fundamental de uma partícula quântica. A função de onda do estado fundamental é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções de onda normalizadas e como calcular expectativas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função de onda esteja normalizada. Isso significa que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Vamos calcular essa integral para encontrar o valor de $ A_{0} $.
Passo 3
Substituindo $ \psi_{0}(x) $ na integral de normalização:
Como $ A_{0} $ é uma constante real, podemos tirá-lo da integral:
Passo 4
A integral que temos é uma integral de Gauss, que é conhecida e igual a $ \sqrt{\pi / (m \omega / \hbar)} $. Então:
Resolvendo para $ A_{0} $:
Passo 5
Agora que temos $ A_{0} $, vamos calcular a expectativa $ \left\langle x^{2}\right\rangle $ que é dada por:
Substituindo $ \psi_{0}(x) $:
Passo 6
A integral que precisamos calcular agora é:
onde $ a = \frac{m \omega}{\hbar} $. Então:
Passo 7
Substituindo $ A_{0}^{2} = \left(\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right)^{1/2} $:
Simplificando os termos:
Resposta
Então, a expectativa de $ x^{2} $ é: