Para o segundo estado excitado de uma partícula em uma caixa unidimensional (n=3), calcule:
a) lang<= xrang<=.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula presa em uma caixa unidimensional, ou seja, um potencial infinito que limita o movimento da partícula entre duas paredes em posições $ x = 0 $ e $ x = L $. O enunciado foca no segundo estado excitado, correspondente ao número quântico $ n = 3 $. Precisamos calcular a expectativa do valor de $ x $, representada por $ \langle x \rangle $.
Para resolver isso, vamos precisar usar a função de onda da partícula na caixa e a fórmula para a expectativa de $ x $ em mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de onda para um estado estacionário $ n $ na caixa unidimensional é dada por:
n
Essa função descreve a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição $ x $ dentro da caixa.

Passo 3

A expectativa de $ x $, $ \langle x \rangle $, é calculada usando a fórmula:
x
Isso significa que vamos integrar o produto de $ x $ pela densidade de probabilidade $ |\psi_n(x)|^2 $ de $ 0 $ a $ L $.

Passo 4

Substituindo a função de onda na fórmula da expectativa, temos:
lang<= x rang<= = integral0^L x ( raiz2L sin(npi xL) )^2 dx
Simplificando o quadrado da função de onda:
lang<= x rang<= = 2L integral0^L x sin^2(npi xL) dx

Passo 5

Vamos utilizar a identidade trigonométrica $ \sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} $ para simplificar a integral:
sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2

Passo 6

Agora, dividimos a integral em duas partes:
lang<= x rang<= = 1L [ integral0^L x , dx - integral0^L x cos(2npi xL) dx ]
Calculamos cada integral separadamente.

Passo 7

Primeiro, calculamos $ \int_{0}^{L} x , dx $:
integral0^L x , dx

Passo 8

Em seguida, calculamos $ \int_{0}^{L} x \cos\left(\frac{2n\pi x}{L}\right) dx $. Para isso, usamos a integração por partes, onde:
integral0^L x cos(2npi xL) dx
u = x Rightarrow du = dx
Aplicando a integração por partes:
dv = cos(2npi xL) dx Rightarrow v = L2npi sin(2npi xL)
A segunda integral resulta em:
integral x cos(2npi xL) dx = x cdot L2npi sin(2npi xL) - integral L2npi sin(2npi xL) dx
Portanto:
- L^2(2npi)^2 cos(2npi xL)
Observando que $ \sin(2n\pi) = 0 $ e $ \cos(2n\pi) = 1 $, a expressão simplifica para:
integral0^L x cos(2npi xL) dx = L2npi x sin(2npi xL) |0^L - L^2(2npi)^2 cos(2npi xL) |0^L

Passo 9

Substituindo de volta na expressão para $ \langle x \rangle $:
lang<= x rang<=

Resposta

A expectativa de $ x $ para o estado $ n = 3 $ é:
x

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