Para o segundo estado excitado de uma partícula em uma caixa unidimensional
, calcule:
a)
.
a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula presa em uma caixa unidimensional, ou seja, um potencial infinito que limita o movimento da partícula entre duas paredes em posições $ x = 0 $ e $ x = L $. O enunciado foca no segundo estado excitado, correspondente ao número quântico $ n = 3 $. Precisamos calcular a expectativa do valor de $ x $, representada por $ \langle x \rangle $.
Para resolver isso, vamos precisar usar a função de onda da partícula na caixa e a fórmula para a expectativa de $ x $ em mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de onda para um estado estacionário $ n $ na caixa unidimensional é dada por:
Essa função descreve a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição $ x $ dentro da caixa.
Passo 3
A expectativa de $ x $, $ \langle x \rangle $, é calculada usando a fórmula:
Isso significa que vamos integrar o produto de $ x $ pela densidade de probabilidade $ |\psi_n(x)|^2 $ de $ 0 $ a $ L $.
Passo 4
Substituindo a função de onda na fórmula da expectativa, temos:
Simplificando o quadrado da função de onda:
Passo 5
Vamos utilizar a identidade trigonométrica $ \sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} $ para simplificar a integral:
Passo 6
Agora, dividimos a integral em duas partes:
Calculamos cada integral separadamente.
Passo 7
Primeiro, calculamos $ \int_{0}^{L} x , dx $:
Passo 8
Em seguida, calculamos $ \int_{0}^{L} x \cos\left(\frac{2n\pi x}{L}\right) dx $. Para isso, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
A segunda integral resulta em:
Portanto:
Observando que $ \sin(2n\pi) = 0 $ e $ \cos(2n\pi) = 1 $, a expressão simplifica para:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão para $ \langle x \rangle $:
Resposta
A expectativa de $ x $ para o estado $ n = 3 $ é: