2.3 O campo de velocidade \vec{V}=a x \hat{i}-b y \hat{j}, onde a=b=1 \mathrm{~s}^{-1}, pode ser interpretado como representando o escoamento numa curva em ângulo reto. Obtenha uma equação para as linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente no primeiro quadrante, incluindo aquela que passa pelo ponto ( x, y)=(0,0).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidade
\vec{V} = a\,x\,\hat\imath \;-\; b\,y\,\hat\jmath
com a=b=1\\ \mathrm{s}^{-1}, ou seja
\vec{V} = x\,\hat\imath \;-\; y\,\hat\jmath.
Pede-se a família de linhas de corrente (streamlines), que são curvas cuja tangente em cada ponto coincide com a direção de \vec V. Para isso, vamos usar a relação
\frac{dy}{dx} \;=\;\frac{v_y}{v_x}.

Passo 2

Identificamos as componentes v_x e v_y:
v_x = x,\qquad v_y = -\,y.
Logo a equação para a curva é
\frac{dy}{dx} = \frac{-y}{x}.

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial por separação de variáveis:
\frac{dy}{y} = -\,\frac{dx}{x}.
Integrando ambos os lados:
\int \frac{dy}{y} = -\int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = -\ln|x| + C_1.
Reescrevendo, \ln|y| + \ln|x| = C_1
\ln|x\,y| = C_1 \quad\Longrightarrow\quad x\,y = C,
onde C = e^{C_1} é constante de integração.

Passo 4

A relação geral das linhas de corrente é
x\,y = C.
Em particular:
  • Se C>0, no primeiro quadrante temos hipérboles de equação y = C/x.
  • O caso C=0 x\,y=0, ou seja as retas y=0 (e também, de modo separado, x=0 é uma streamline pois ali v_x=0 e o fluxo se dá verticalmente). Essas duas “linhas” passam pelo ponto de estagnação (0,0).

Passo 5

No primeiro quadrante ( x>0,y>0) as linhas de corrente são as hipérboles
y = \frac{C}{x},\quad C>0.
Alguns exemplos são:
  • Para C=1, y=\frac{1}{x}.
  • Para C=2, y=\frac{2}{x}.
  • Para C=5, y=\frac{5}{x}.
    Além disso, a streamline degenerate que passa por (0,0) corresponde a C=0, i.e.\ y=0 (e a outra reta x=0).

Resposta

A família de linhas de corrente é dada por
x\,y = C,
ou equivalentemente
y = \frac{C}{x},
no primeiro quadrante para C>0, e para C=0 temos as retas y=0 e x=0, que passam pelo ponto de estagnação (0,0).

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