2.3 O campo de velocidade
, onde
, pode ser interpretado como representando o escoamento numa curva em ângulo reto. Obtenha uma equação para as linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente no primeiro quadrante, incluindo aquela que passa pelo ponto (
,
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo de velocidade
com
, ou seja
Pede-se a família de linhas de corrente (streamlines), que são curvas cuja tangente em cada ponto coincide com a direção de
. Para isso, vamos usar a relação
Passo 2
Identificamos as componentes
e
:
Logo a equação para a curva é
Passo 3
Resolvendo a equação diferencial por separação de variáveis:
Integrando ambos os lados:
Reescrevendo,
dá
onde
é constante de integração.
Passo 4
A relação geral das linhas de corrente é
Em particular:
- Se
, no primeiro quadrante temos hipérboles de equação . - O caso
dá , ou seja as retas (e também, de modo separado, é uma streamline pois ali e o fluxo se dá verticalmente). Essas duas “linhas” passam pelo ponto de estagnação .
Passo 5
No primeiro quadrante (
) as linhas de corrente são as hipérboles
Alguns exemplos são:
- Para
, . - Para
, . - Para
, .
Além disso, a streamline degenerate que passa porcorresponde a , i.e.\ (e a outra reta ).
Resposta
A família de linhas de corrente é dada por
ou equivalentemente
no primeiro quadrante para
, e para
temos as retas
e
, que passam pelo ponto de estagnação
.