53 (1) pontos)
Defina uma função contínua.

Passo 1

O enunciado é curto e pede uma coisa direta: definir o que é uma função contínua.
Não há dados numéricos nem condições extras. O que se espera é a forma precisa (formal) da definição e, como você pediu, uma explicação didática passo a passo para entender e saber aplicar essa definição na prova.

Passo 2

Ideia intuitiva primeiro (sem formalismos pesados): dizer que uma função é contínua num ponto é afirmar que pequenas variações na entrada provocam pequenas variações na saída. Em linguagem do dia a dia: se eu mexer um pouco em x perto de a, então f(x) muda pouco perto de f(a). Essa imagem do “sem buracos nem pulos” no gráfico ajuda muito quando for analisar exemplos.

Passo 3

O que quer dizer “pequenas” aqui? Usamos duas tolerâncias:
  • \varepsilon representa “o quão perto eu quero que f(x) fique de f(a)” — é uma tolerância na saída.
  • \delta representa “o quão perto preciso ficar de a no domínio” — é uma tolerância na entrada.
    Na prática: para qualquer exigência de proximidade \varepsilon>0 no valor de f, devo conseguir encontrar uma proximidade \delta>0 em x tal que, sempre que |x-a|<\delta, a diferença |f(x)-f(a)| fique abaixo de \varepsilon. Essa é a ideia que transformaremos na forma formal da definição.

Passo 4

Outra maneira prática de pensar (muito usada em provas): continuidade em a significa que o limite de f(x) quando x vai para a existe e é igual a f(a). Em símbolos verbais: \lim_{x\to a} f(x) = f(a). Isso dá um teste útil: calcule o limite e compare com o valor da função no ponto. Se forem iguais, tem continuidade; se o limite não existir ou for diferente de f(a), não é contínua.

Passo 5

Uma terceira caracterização, também útil no raciocínio: continuidade em a é equivalente a este comportamento com sequências. Ou seja, sempre que uma sequência (x_n) no domínio converge para a, a sequência (f(x_n)) converge para f(a). Isso é frequentemente prático para construir contraexemplos: para provar que não é contínua, basta achar uma sequência x_n\to a tal que f(x_n)\not\to f(a).

Passo 6

Como aplicar rápido na prova (receita prática):
  • Para funções conhecidas: polinômios, funções polinomiais, exponenciais, sen, cos, log, etc., esses são contínuos em seus domínios naturais. Racionais são contínuas onde o denominador não zera.
  • Operações: se f e g são contínuas em a, então f+g, f-g, f\cdot g e, quando g(a)\neq 0, f/g são contínuas em a. Composição: se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então f\circ g é contínua em a.
    Esses fatos permitem provar continuidade sem refazer a prova epsilon–delta toda vez.

Passo 7

Tipos de descontinuidade (o que procurar na prova):
  • Removível: o limite existe, mas o valor f(a) é diferente ou a função não está definida em a. Exemplo clássico: função com “buraco” que pode ser consertada definindo f(a) adequadamente.
  • Salto: limites laterais existem mas são diferentes ( \lim_{x\to a^-} f(x) \neq \lim_{x\to a^+} f(x)).
  • Infinito: pelo menos um dos limites laterais é infinito (por ex. 1/x em 0).
    Para mostrar não continuidade, basta evidenciar um desses comportamentos (por exemplo, calcular limites laterais ou construir uma sequência contraditória).

Passo 8

Exemplos rápidos e como justificar (jeito de prova):
  • Mostrar que p(x) polinomial é contínua: usar que soma e produto de funções contínuas são contínuos e que a função identidade x\mapsto x é contínua; portanto monômios x^n contínuos e polinômio também.
  • Mostrar que r(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} é contínua onde q(x)\neq 0: já que p e q contínuas e divisão preserva continuidade quando denominador não nulo.
  • Para peça por peça (função definida por partes): verificar limites laterais em cada fronteira e comparar com o valor definido. Se algum limite lateral não existe ou não coincide com o valor, falta continuidade.

Passo 9

Dicas de prova epsilon–delta (quando for necessário usar formalmente):
  • Identifique a expressão |f(x)-f(a)| e tente dominá-la por uma função de |x-a|; procure constantes ou desigualdades que permitam escolher \delta em função de \varepsilon.
  • Para funções simples (polinômios, produtos, etc.) costuma dar para usar desigualdades elementares (triângulo, fatoração) para passar de um \varepsilon dado a um \delta explícito.
  • Mas, na maioria das provas, usar fatos já conhecidos (soma, produto, composição) economiza tempo e evita epsilons repetidos.

Resposta

Uma função f\colon D\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua em a\in D se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que x\in D e |x-a|<\delta, vale |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
A função f é contínua em D (ou simplesmente contínua) se for contínua em todo ponto a\in D.

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