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Defina uma função contínua.
Defina uma função contínua.
Passo 1
O enunciado é curto e pede uma coisa direta: definir o que é uma função contínua.
Não há dados numéricos nem condições extras. O que se espera é a forma precisa (formal) da definição e, como você pediu, uma explicação didática passo a passo para entender e saber aplicar essa definição na prova.
Não há dados numéricos nem condições extras. O que se espera é a forma precisa (formal) da definição e, como você pediu, uma explicação didática passo a passo para entender e saber aplicar essa definição na prova.
Passo 2
Ideia intuitiva primeiro (sem formalismos pesados): dizer que uma função é contínua num ponto é afirmar que pequenas variações na entrada provocam pequenas variações na saída. Em linguagem do dia a dia: se eu mexer um pouco em
perto de
, então
muda pouco perto de
. Essa imagem do “sem buracos nem pulos” no gráfico ajuda muito quando for analisar exemplos.
Passo 3
O que quer dizer “pequenas” aqui? Usamos duas tolerâncias:
-
representa “o quão perto eu quero que fique de ” — é uma tolerância na saída. -
representa “o quão perto preciso ficar de no domínio” — é uma tolerância na entrada.
Na prática: para qualquer exigência de proximidadeno valor de , devo conseguir encontrar uma proximidade em tal que, sempre que , a diferença fique abaixo de . Essa é a ideia que transformaremos na forma formal da definição.
Passo 4
Outra maneira prática de pensar (muito usada em provas): continuidade em
significa que o limite de
quando
vai para
existe e é igual a
. Em símbolos verbais:
. Isso dá um teste útil: calcule o limite e compare com o valor da função no ponto. Se forem iguais, tem continuidade; se o limite não existir ou for diferente de
, não é contínua.
Passo 5
Uma terceira caracterização, também útil no raciocínio: continuidade em
é equivalente a este comportamento com sequências. Ou seja, sempre que uma sequência
no domínio converge para
, a sequência
converge para
. Isso é frequentemente prático para construir contraexemplos: para provar que não é contínua, basta achar uma sequência
tal que
.
Passo 6
Como aplicar rápido na prova (receita prática):
- Para funções conhecidas: polinômios, funções polinomiais, exponenciais, sen, cos, log, etc., esses são contínuos em seus domínios naturais. Racionais são contínuas onde o denominador não zera.
- Operações: se
e são contínuas em , então , , e, quando , são contínuas em . Composição: se é contínua em e é contínua em , então é contínua em .
Esses fatos permitem provar continuidade sem refazer a prova epsilon–delta toda vez.
Passo 7
Tipos de descontinuidade (o que procurar na prova):
- Removível: o limite existe, mas o valor
é diferente ou a função não está definida em . Exemplo clássico: função com “buraco” que pode ser consertada definindo adequadamente. - Salto: limites laterais existem mas são diferentes (
). - Infinito: pelo menos um dos limites laterais é infinito (por ex.
em ).
Para mostrar não continuidade, basta evidenciar um desses comportamentos (por exemplo, calcular limites laterais ou construir uma sequência contraditória).
Passo 8
Exemplos rápidos e como justificar (jeito de prova):
- Mostrar que
polinomial é contínua: usar que soma e produto de funções contínuas são contínuos e que a função identidade é contínua; portanto monômios contínuos e polinômio também. - Mostrar que
é contínua onde : já que e contínuas e divisão preserva continuidade quando denominador não nulo. - Para peça por peça (função definida por partes): verificar limites laterais em cada fronteira e comparar com o valor definido. Se algum limite lateral não existe ou não coincide com o valor, falta continuidade.
Passo 9
Dicas de prova epsilon–delta (quando for necessário usar formalmente):
- Identifique a expressão
e tente dominá-la por uma função de ; procure constantes ou desigualdades que permitam escolher em função de . - Para funções simples (polinômios, produtos, etc.) costuma dar para usar desigualdades elementares (triângulo, fatoração) para passar de um
dado a um explícito. - Mas, na maioria das provas, usar fatos já conhecidos (soma, produto, composição) economiza tempo e evita epsilons repetidos.
Resposta
Uma função
é contínua em
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
e
, vale
.
A função é contínua em
(ou simplesmente contínua) se for contínua em todo ponto
.
A função