Sabendo que \lim _{x \rightarrow a} f(x)=-3, \lim _{x \rightarrow a} g(x)=0 e \lim _{x \rightarrow a} l(x)=5. Encontre, se existir, os seguintes limites. \lim _{x \rightarrow i} \frac{f(x)}{g(x)}
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
\lim_{x\to a} f(x) = -3.
\lim_{x\to a} g(x) = 0.
\lim_{x\to a} l(x) = 5.
A pergunta pedida é:
Calcular \lim_{x\to i} \dfrac{f(x)}{g(x)}.
Observação importante (sem pedir nada a você): o enunciado dá limites quando x\to a mas a questão pede o limite quando x\to i. Não foi fornecida informação sobre o comportamento das funções em torno de x=i. Portanto, para poder usar os dados dados (os limites em a) é preciso interpretar que houve um provável erro tipográfico e que a intenção é calcular \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}. Vou prosseguir assumindo que i=a. Se a intenção fosse i\neq a, não há informação suficiente para responder.
Passo 2
Relembrando uma lei de limites que a gente costuma usar: se \lim_{x\to a} f(x)=F e \lim_{x\to a} g(x)=G e G\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{F}{G}.
Aqui, no entanto, temos F=-3 e G=0. A lei do quociente não se aplica porque o limite do denominador é zero. Então não podemos concluir que o limite existe como número finito. Precisamos analisar diretamente o comportamento do quociente quando o numerador tende a um número não nulo e o denominador tende a zero.
Passo 3
Intuição: se f(x)\to -3 e g(x)\to 0, então para x suficientemente próximo de a a função f(x) fica perto de -3 (ou seja, fica afastada de zero), enquanto g(x) fica muito pequena; dividir um número próximo de -3 por algo que vai a zero tende a produzir valores de módulo muito grandes. Vamos formalizar isso para mostrar que o quociente não tem limite finito e que o módulo diverge para +\infty.
Prova (vareta epsilon/M):
Como \lim_{x\to a} f(x)=-3, existe \delta_1>0 tal que, para 0<|x-a|<\delta_1,
|f(x)+3|<1 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)|>2.
(Isto só diz que perto de a o numerador fica com módulo pelo menos 2.)
Como \lim_{x\to a} g(x)=0, dado qualquer M>0 existe \delta_2>0 tal que, para 0<|x-a|<\delta_2,
|g(x)|<\frac{2}{M}.
Tome \delta=\min(\delta_1,\delta_2). Para 0<|x-a|<\delta temos simultaneamente |f(x)|>2 e |g(x)|<2/M. Assim
Como isso vale para qualquer M>0, concluímos que \left|\dfrac{f(x)}{g(x)}\right|\to+\infty quando x\to a. Em particular, o quociente não converge para um número real finito.
Passo 4
Sobre o sinal (ou seja, se tende a +\infty ou -\infty): a informação dada não permite determinar o sinal do limite, porque depende de como g(x) se aproxima de 0 (se se aproxima por valores positivos, negativos ou alternando). Exemplos para fixar a ideia:
Se f(x)\to -3 e g(x)\to 0^+ (sempre positivo), então f(x)/g(x)\to -\infty.
Se f(x)\to -3 e g(x)\to 0^- (sempre negativo), então f(x)/g(x)\to +\infty.
Se g(x) muda de sinal arbitrariamente perto de a, então o limite nem mesmo existe no sentido estendido unívoco (não existe limite nem mesmo igual a +\infty ou -\infty).
Por isso a afirmação correta e segura é que não existe limite finito e que o módulo do quociente diverge para +\infty; o sinal não pode ser determinado com a informação dada.
Resposta
Não existe como número real; \left|\dfrac{f(x)}{g(x)}\right|\to+\infty quando x\to a (o quociente diverge em módulo).