Sabendo que
e
. Encontre, se existir, os seguintes limites.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
. -
.
A pergunta que precisamos responder é:
- Encontrar
.
Passo 2
Vamos recordar dois resultados sobre limites que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa).
- Regra do produto de limites: se
e e ambos os limites existem e são finitos, então
Aqui
e
são funções quaisquer,
e
são os respectivos limites numéricos. A ideia é simples: quando
fica muito próximo de
,
fica próximo de
e
fica próximo de
; multiplicando aproximações pequenas obtemos aproximação do produto.
- Composição com função contínua: se
é contínua em e , então
No nosso caso a função
é contínua para todo
(é um polinômio), então podemos aplicar essa regra diretamente: o limite do quadrado é o quadrado do limite.
Ambas as regras são equivalentes aqui: podemos ver
como
e aplicar a regra do produto, ou ver como
com
e usar continuidade.
Passo 3
Aplicando a regra do produto (ou da composição) a
:
Substituindo o valor fornecido
, obtemos
Passo 4
Calculemos o quadrado:
Portanto o limite existe e vale
.