Sabendo que \lim _{x \rightarrow a} f(x)=-3, \lim _{x \rightarrow a} g(x)=0 e \lim _{x \rightarrow a} l(x)=5. Encontre, se existir, os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow a}(f(x))^{2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \lim_{x\to a} f(x) = -3.
  • \lim_{x\to a} g(x) = 0.
  • \lim_{x\to a} l(x) = 5.
A pergunta que precisamos responder é:
  • Encontrar \lim_{x\to a} (f(x))^{2}.

Passo 2

Vamos recordar dois resultados sobre limites que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa).
  1. Regra do produto de limites: se \lim_{x\to a} u(x) = U e \lim_{x\to a} v(x)=V e ambos os limites existem e são finitos, então
\lim_{x\to a} \big(u(x)\,v(x)\big) = U\cdot V.
Aqui u(x) e v(x) são funções quaisquer, U e V são os respectivos limites numéricos. A ideia é simples: quando x fica muito próximo de a, u(x) fica próximo de U e v(x) fica próximo de V; multiplicando aproximações pequenas obtemos aproximação do produto.
  1. Composição com função contínua: se \varphi é contínua em U e \lim_{x\to a} u(x)=U, então
\lim_{x\to a} \varphi\big(u(x)\big) = \varphi(U).
No nosso caso a função \varphi(t)=t^{2} é contínua para todo t (é um polinômio), então podemos aplicar essa regra diretamente: o limite do quadrado é o quadrado do limite.
Ambas as regras são equivalentes aqui: podemos ver (f(x))^{2} como f(x)\cdot f(x) e aplicar a regra do produto, ou ver como \varphi(f(x)) com \varphi(t)=t^{2} e usar continuidade.

Passo 3

Aplicando a regra do produto (ou da composição) a f(x):
\lim_{x\to a} (f(x))^{2} = \big(\lim_{x\to a} f(x)\big)^{2}.
Substituindo o valor fornecido \lim_{x\to a} f(x) = -3, obtemos
\lim_{x\to a} (f(x))^{2} = (-3)^{2}.

Passo 4

Calculemos o quadrado:
(-3)^{2} = 9.
Portanto o limite existe e vale 9.

Resposta

9

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