Na inferência estatística, a função de verossimilhança de uma amostra de uma Distribuição de Poisson é dada por
L\left(\lambda \mid x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\prod_{i=1}^{n} \frac{\lambda^{x_{i}} e^{-\lambda}}{x_{i}!}=\frac{\lambda^{\sum x_{i}} e^{-n \lambda}}{\prod x_{i}!}
Para encontrar o estimador de máxima verossimilhança, costuma-se aplicar o logaritmo natural, gerando a logverossimilhança I(X). Qual é a expressão correta para I(\lambda) ?

Passo 1

O enunciado dá a função de verossimilhança de uma amostra x_{1},\ldots,x_{n} de uma distribuição de Poisson:
L\left(\lambda \mid x_{1},\ldots,x_{n}\right)=\frac{\lambda^{\sum_{i=1}^{n} x_{i}} e^{-n\lambda}}{\prod_{i=1}^{n} x_{i}!}.
O que é pedido: escrever a expressão correta para a log-verossimilhança I(\lambda), que é o logaritmo natural de L.

Passo 2

O primeiro passo prático é lembrar propriedades do logaritmo que vamos usar (coisa básica, mas essencial):
  • \ln(ab)=\ln a+\ln b (log de produto vira soma),
  • \ln(a^k)=k\ln a (log de potência traz o expoente),
  • \ln(e^{u})=u (log natural e exponencial se cancelam).
Também definimos uma notação útil: seja
S=\sum_{i=1}^{n} x_{i},
que é apenas a soma das observações — é um número conhecido a partir dos dados e facilita a escrita.

Passo 3

Agora aplicamos o logaritmo natural à verossimilhança. Por definição,
I(\lambda)=\ln L\left(\lambda \mid x_{1},\ldots,x_{n}\right).
Usando a forma dada de L e as propriedades do log:
I(\lambda)=\ln\!\left(\frac{\lambda^{S} e^{-n\lambda}}{\prod_{i=1}^{n} x_{i}!}\right) =\ln\!\left(\lambda^{S}\right)+\ln\!\left(e^{-n\lambda}\right)-\ln\!\left(\prod_{i=1}^{n} x_{i}!\right).

Passo 4

Aplicando as fórmulas específicas aos termos:
\ln\!\left(\lambda^{S}\right)=S\ln\lambda, \qquad \ln\!\left(e^{-n\lambda}\right)=-n\lambda, \qquad \ln\!\left(\prod_{i=1}^{n} x_{i}!\right)=\sum_{i=1}^{n}\ln\!(x_{i}!).
Substituindo tudo, obtemos a expressão completa da log-verossimilhança:
I(\lambda)=S\ln\lambda - n\lambda - \sum_{i=1}^{n}\ln\!(x_{i}!).
Observação didática: o último termo -\sum_{i=1}^{n}\ln\!(x_{i}!) não depende de \lambda; em problemas práticos costuma-se tratá-lo como constante quando se maximiza em função de \lambda.

Passo 5

Como complemento útil (para usar na prova): se quisermos achar o estimador de máxima verossimilhança, derivamos I(\lambda) em relação a \lambda:
\frac{dI}{d\lambda}=\frac{S}{\lambda}-n.
Igualando a zero dá \hat{\lambda}=\dfrac{S}{n}=\overline{X}. E a segunda derivada \dfrac{d^{2}I}{d\lambda^{2}}=-\dfrac{S}{\lambda^{2}}<0 confirma que é máximo.

Resposta

I(\lambda)=\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)\ln\lambda - n\lambda - \sum_{i=1}^{n}\ln\!(x_{i}!)

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