53 Três corpos de mesma massa e com o mesmo calor específico têm temperaturas de
e
. Qual a menor temperatura que o corpo mais quente pode atingir ao colocá-los em contato térmico em qualquer combinação?
54 Um recipiente de alumínio de 1000 g contém 783 g de água. Ele é solto de modo que atinja o chão com velocidade v. Se a colisão com o chão é perfeitamente elástica e todo calor é absorvido pelo recipiente, aumentando sua temperatura em
, qual o valor de v ? (
;
).
Passo 1
Questão 53: nos dão três corpos de mesma massa e mesmo calor específico com temperaturas
,
e
. A pergunta é: qual a menor temperatura que o corpo mais quente pode atingir ao colocá‑los em contato térmico em qualquer combinação?
Questão 54: um recipiente de alumínio de
contém
de água. O conjunto é solto de modo que atinja o chão com velocidade
. Diz‑se que a colisão com o chão é perfeitamente (presumivelmente inelástica, isto é, toda a energia cinética é transformada em calor) e que todo o calor gerado é absorvido pelo recipiente de alumínio, fazendo sua temperatura aumentar em
. São dados
e
. A pergunta é: qual o valor de
?
Passo 2
Resolvendo a Questão 53 — entender o que se conserva: quando corpos de mesmo calor específico e mesma massa trocam calor isoladamente, a energia interna total (proporcional à soma das temperaturas, já que massas e
são iguais) se conserva. Então se ao final as temperaturas forem
temos que a média aritmética das temperaturas iniciais é igual à média das finais.
Explicando a ideia passo a passo (sem pular): cada corpo tem capacidade térmica
. Como todas as massas
e os calores específicos
são iguais, podemos dividir toda a equação de energia por
e trabalhar só com temperaturas. Portanto a soma das temperaturas iniciais é igual à soma das finais.
Passo 3
Aplicando conservação de energia (Questão 53): a soma das temperaturas iniciais é
Sejam as temperaturas finais
. Pela conservação da energia (e igualdade de massas e
),
A média é
. Logo a média das temperaturas finais é
.
Passo 4
Argumento sobre o valor mínimo possível do maior valor (Questão 53): para qualquer três números com média
, o máximo entre eles não pode ser menor que
(se todos fossem menores que
, a média seria menor que
). Portanto o maior entre
tem que ser, no mínimo,
. Esse limite é atingível: por exemplo, colocando em contato térmico apenas o corpo de
com o de
(mesmas massas e
) eles se equilibram em
e o terceiro já estava a
. Assim todos ficam
, e o maior é
.
Passo 5
Conclusão da Questão 53 (resumindo didaticamente): a menor temperatura que o corpo mais quente pode atingir é
. Isso vem da conservação de energia e do fato de que o máximo de três números com média fixa não pode ser menor do que a média — e a configuração que iguala todas as temperaturas alcança esse mínimo.
Passo 6
Resolvendo a Questão 54 — estabelecer a equação de energia: a energia cinética total do conjunto (recipiente + água) imediatamente antes do choque é
onde
é a massa total em quilogramas. Segundo o enunciado, essa energia é convertida em calor que é absorvido pelo recipiente de alumínio, elevando sua temperatura em
. Assim o calor absorvido pelo alumínio, em calorias, é
Vamos calcular
em calorias e depois converter para joules para igualar a
.
Passo 7
Calcular o calor absorvido pelo alumínio (Questão 54): usando
,
e
,
Passo 8
Converter
para joules usando
(ou
):
Passo 9
Escrever a equação de conservação de energia e isolar
: a energia cinética total antes do choque é a de massa total
. Igualando:
Substituindo valores,
Passo 10
Calcular
explicitamente: primeiro isolar
,
Então
(Pequena observação didática: usamos a massa total no termo de energia cinética porque tanto o recipiente quanto a água estavam em movimento antes do choque; pelo enunciado toda a energia convertida foi absorvida pelo recipiente, por isso usamos apenas a capacidade térmica do alumínio para calcular o aumento de temperatura.)