53 Três corpos de mesma massa e com o mesmo calor específico têm temperaturas de 180^{\circ} \mathrm{C}, 120^{\circ} \mathrm{C} e 60^{\circ} \mathrm{C}. Qual a menor temperatura que o corpo mais quente pode atingir ao colocá-los em contato térmico em qualquer combinação?
54 Um recipiente de alumínio de 1000 g contém 783 g de água. Ele é solto de modo que atinja o chão com velocidade v. Se a colisão com o chão é perfeitamente elástica e todo calor é absorvido pelo recipiente, aumentando sua temperatura em 0,3^{\circ} \mathrm{C}, qual o valor de v ? ( \mathrm{c}_{\mathrm{Al}}=0,217 \mathrm{cal} / \mathrm{g}{ }^{\circ} \mathrm{C}; 1 \mathrm{~J}=0,24 \mathrm{cal} ).

Passo 1

Questão 53: nos dão três corpos de mesma massa e mesmo calor específico com temperaturas 180^\circ\mathrm{C}, 120^\circ\mathrm{C} e 60^\circ\mathrm{C}. A pergunta é: qual a menor temperatura que o corpo mais quente pode atingir ao colocá‑los em contato térmico em qualquer combinação?
Questão 54: um recipiente de alumínio de 1000\\ \mathrm{g} contém 783\\ \mathrm{g} de água. O conjunto é solto de modo que atinja o chão com velocidade v. Diz‑se que a colisão com o chão é perfeitamente (presumivelmente inelástica, isto é, toda a energia cinética é transformada em calor) e que todo o calor gerado é absorvido pelo recipiente de alumínio, fazendo sua temperatura aumentar em 0,3^\circ\mathrm{C}. São dados c_{\mathrm{Al}}=0,217\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{J}=0,24\\ \mathrm{cal}. A pergunta é: qual o valor de v?

Passo 2

Resolvendo a Questão 53 — entender o que se conserva: quando corpos de mesmo calor específico e mesma massa trocam calor isoladamente, a energia interna total (proporcional à soma das temperaturas, já que massas e c são iguais) se conserva. Então se ao final as temperaturas forem T_1,T_2,T_3 temos que a média aritmética das temperaturas iniciais é igual à média das finais.
Explicando a ideia passo a passo (sem pular): cada corpo tem capacidade térmica C=m c. Como todas as massas m e os calores específicos c são iguais, podemos dividir toda a equação de energia por m c e trabalhar só com temperaturas. Portanto a soma das temperaturas iniciais é igual à soma das finais.

Passo 3

Aplicando conservação de energia (Questão 53): a soma das temperaturas iniciais é
180+120+60=360.
Sejam as temperaturas finais T_a,T_b,T_c. Pela conservação da energia (e igualdade de massas e c),
T_a+T_b+T_c=360.
A média é \dfrac{360}{3}=120. Logo a média das temperaturas finais é 120^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Argumento sobre o valor mínimo possível do maior valor (Questão 53): para qualquer três números com média 120, o máximo entre eles não pode ser menor que 120 (se todos fossem menores que 120, a média seria menor que 120). Portanto o maior entre T_a,T_b,T_c tem que ser, no mínimo, 120^\circ\mathrm{C}. Esse limite é atingível: por exemplo, colocando em contato térmico apenas o corpo de 180^\circ\mathrm{C} com o de 60^\circ\mathrm{C} (mesmas massas e c) eles se equilibram em
\frac{180+60}{2}=120^\circ\mathrm{C},
e o terceiro já estava a 120^\circ\mathrm{C}. Assim todos ficam 120^\circ\mathrm{C}, e o maior é 120^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Conclusão da Questão 53 (resumindo didaticamente): a menor temperatura que o corpo mais quente pode atingir é 120^\circ\mathrm{C}. Isso vem da conservação de energia e do fato de que o máximo de três números com média fixa não pode ser menor do que a média — e a configuração que iguala todas as temperaturas alcança esse mínimo.

Passo 6

Resolvendo a Questão 54 — estabelecer a equação de energia: a energia cinética total do conjunto (recipiente + água) imediatamente antes do choque é
E_{\text{cin}}=\tfrac{1}{2}M_{\text{total}}v^2,
onde M_{\text{total}} é a massa total em quilogramas. Segundo o enunciado, essa energia é convertida em calor que é absorvido pelo recipiente de alumínio, elevando sua temperatura em \Delta T=0,3^\circ\mathrm{C}. Assim o calor absorvido pelo alumínio, em calorias, é
Q=m_{\mathrm{Al}}\,c_{\mathrm{Al}}\,\Delta T.
Vamos calcular Q em calorias e depois converter para joules para igualar a E_{\text{cin}}.

Passo 7

Calcular o calor absorvido pelo alumínio (Questão 54): usando m_{\mathrm{Al}}=1000\\ \mathrm{g}, c_{\mathrm{Al}}=0,217\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^\circ\mathrm{C} e \Delta T=0,3^\circ\mathrm{C},
Q = 1000\times 0,217\times 0,3 = 65,1\\ \mathrm{cal}.

Passo 8

Converter Q para joules usando 1\\ \mathrm{J}=0,24\\ \mathrm{cal} (ou 1\\ \mathrm{cal}=1/0,24\\ \mathrm{J}):
Q_{\mathrm{J}}=\frac{65,1}{0,24}=271{,}25\\ \mathrm{J}.

Passo 9

Escrever a equação de conservação de energia e isolar v: a energia cinética total antes do choque é a de massa total M_{\text{total}}=1000\\ \mathrm{g}+783\\ \mathrm{g}=1783\\ \mathrm{g}=1{,}783\\ \mathrm{kg}. Igualando:
\tfrac{1}{2}M_{\text{total}}v^2 = Q_{\mathrm{J}}.
Substituindo valores,
\tfrac{1}{2}\times 1{,}783\\ v^2 = 271{,}25.

Passo 10

Calcular v explicitamente: primeiro isolar v^2,
v^2 = \frac{2\times 271{,}25}{1{,}783} = \frac{542{,}5}{1{,}783}\approx 304{,}37.
Então
v=\sqrt{304{,}37}\approx 17{,}4\\ \mathrm{m/s}.
(Pequena observação didática: usamos a massa total no termo de energia cinética porque tanto o recipiente quanto a água estavam em movimento antes do choque; pelo enunciado toda a energia convertida foi absorvida pelo recipiente, por isso usamos apenas a capacidade térmica do alumínio para calcular o aumento de temperatura.)

Resposta

120^\circ\mathrm{C}
17{,}4\\ \mathrm{m/s}

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