27 Um calorimétrico de cobre tem uma capacidade térmica de 40 cal /{ }^{\circ} \mathrm{C} e contém 100 g de água. O sistema está inicialmente a 0^{\circ} \mathrm{C} .20 \mathrm{~g} de vapor de água é introduzido dentro do calorímetro a 100^{\circ} \mathrm{C}. Qual é a temperatura final do calorímetro e seu conteúdo?

Passo 1

Vou reescrever com cuidado o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder no meio do desespero (respira, vai dar certo!).
Dados fornecidos:
\text{Capacidade térmica do calorímetro (cobre)} = 40\\ \text{cal}/^\circ\text{C}éí
\text{Massa da água inicialmente no calorímetro} = 100\\ \text{g}áí
\text{Temperatura inicial do sistema (calorímetro + água)} = 0^\circ\text{C}íá
\text{Massa de vapor introduzida} = 20\\ \text{g}
\text{Temperatura do vapor ao entrar} = 100^\circ\text{C}
O que o enunciado pede:
  • A temperatura final de equilíbrio do conjunto (calorímetro + água final).
Observação: vou usar os valores padrão físicos:
\text{Calor específico da água } c_{\text{água}} = 1\\ \text{cal}/(\text{g}\cdot^\circ\text{C})íáá
\text{Calor latente de vaporização da água a }100^\circ\text{C } L_v = 540\\ \text{cal/g}çãá

Passo 2

Entendendo fisicamente o que acontece (aula rápida e de amigo):
  • O vapor de água a 100^\circ\text{C} ao entrar no calorímetro vai se condensar em água líquida, e essa condensação libera energia (o calor latente).
  • Depois de condensado, esse novo líquido (inicialmente a 100^\circ\text{C}) pode ceder calor ao restante do sistema até chegarem todos a uma mesma temperatura final T_f.
  • O calor cedido pelo vapor/condensado será absorvido pela água inicial e pelo calorímetro de cobre.
  • Conciliando tudo: soma dos calores cedidos = soma dos calores absorvidos (conservação de energia térmica, sem perdas para o ambiente).
Explicando fórmulas básicas que vou usar:
  • Calor trocado por um corpo quando sua temperatura varia: \Delta Q = m\,c\,(T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}), em que m é massa, c é calor específico, e as temperaturas em ^\circ\text{C}.
  • Calor liberado/absorvido na mudança de fase (vapor \to líquido): \Delta Q = m\,L_v, em que L_v é o calor latente por grama.
  • Capacidade térmica C (do calorímetro) significa que ao variar 1^\circ\text{C} o calorímetro troca C calorias; o calor total é \Delta Q = C\,(T_f - T_{\text{inicial}}).

Passo 3

Vamos definir a incógnita e escrever a equação de conservação de energia.
Defino:
T \equiv T_f \quad\text{(temperatura final de equilíbrio, em }^\circ\text{C)}í
Termos de calor envolvidos (vou explicar cada um com calma):
  1. Calor liberado pela condensação do vapor (fase): primeiro o vapor condensa, liberando calor latente:
Q_{\text{latente}} = m_{\text{v}}\,L_v = 20\\ \text{g}\times 540\\ \frac{\text{cal}}{\text{g}} = 10800\\ \text{cal}.
Depois, a água resultante da condensação (massa 20\\ \text{g}) está inicialmente a 100^\circ\text{C} e será resfriada até T, liberando mais:
Q_{\text{resfriamento do condensado}} = m_{\text{v}}\,c_{\text{água}}\,(100 - T) = 20\cdot 1\cdot (100 - T) = 2000 - 20T\\ \text{cal}.á
Portanto o calor total liberado pelo vapor/condensado é:
Q_{\text{cedido}} = 10800 + (2000 - 20T) = 12800 - 20T.
  1. Calor absorvido pela água inicial (100 g, de 0^\circ para T):
Q_{\text{água inicial}} = m_{\text{água}}\\ c_{\text{água}}\\ (T - 0) = 100\cdot 1\cdot T = 100T\\ \text{cal}.ááá
  1. Calor absorvido pelo calorímetro (capacidade térmica C=40 cal/ ^\circC, de 0^\circ para T):
Q_{\text{calorímetro}} = C\,(T - 0) = 40\,T\\ \text{cal}.í

Passo 4

Aplicando a conservação de energia (todo o calor cedido pelo vapor é absorvido pela água inicial e pelo calorímetro):
Q_{\text{cedido}} = Q_{\text{água inicial}} + Q_{\text{calorímetro}}.áí
Substituindo os termos que achamos:
12800 - 20T = 100T + 40T.
Somando os termos do lado direito:
12800 - 20T = 140T.
Passando o termo em T para o mesmo lado:
12800 = 140T + 20T = 160T.
Logo:
T = \frac{12800}{160}.

Passo 5

Fazendo a divisão (vou detalhar a conta para você poder replicar de cabeça na prova):
160 = 16 \times 10,\quad 12800 = 128 \times 100.
\frac{12800}{160} = \frac{128}{16}\cdot\frac{100}{10} = 8 \cdot 10 = 80.
Portanto:
T = 80^\circ\text{C}.

Passo 6

Verificação rápida de coerência:
  • O resultado T=80^\circ\text{C} está abaixo de 100^\circ\text{C}, então é válido pressupor que todo o vapor condensou (não ficou vapor remanescente a T), e não há necessidade de considerar aquecimento além de 100^\circ\text{C}.
  • As unidades conferem (calorias), e os sinais fazem sentido: o vapor liberou bastante energia que elevou a água+calorímetro de 0^\circ a 80^\circ.

Resposta

80^\circ\text{C}

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