50 Uma panela de cobre pesada com massa igual a 2,0 \mathrm{~kg} (incluindo a tampa) está a uma temperatura de 150^{\circ} \mathrm{C}. Você despeja 0,10 \mathrm{~kg} de água a 25^{\circ} \mathrm{C} no interior dessa panela, a seguir fecha rapidamente a tampa de modo que não ocorra nenhuma perda de vapor. Calcule a temperatura final da panela e do seu conteúdo, e determine a fase (líquida ou gasosa) da água. Suponha que não haja nenhuma perda de calor para o ambiente.
51 Ao aquecer uma panela com água e um ovo em um fogão a uma temperatura de \Delta \mathrm{T}_{1}=6{ }^{\circ} \mathrm{C}, consome-se uma certa quantidade de energia. A mesma quantidade de energia é consumida ao aquecer a mesma panela no mesmo fogão a uma temperatura de \Delta \mathrm{T}_{2}=4^{\circ} \mathrm{C} com a mesma quantidade de água e 3 ovos. Em quantos graus \Delta \mathrm{T} a mesma panela com a mesma quantidade de água, sem os ovos, aquecerá no mesmo fogão com o mesmo consumo de energia? Nos três processos, a água não ferve.
52 Dois corpos A e B com o mesmo calor específico, cujas massas são m_{A}=2 m_{B}, têm temperaturas iniciais iguais. Os corpos são aquecidos de duas maneiras diferentes. Em um caso, o calor de uma fonte externa é transferido para um corpo de maior massa, que é então colocado em contato térmico com um corpo de menor massa. No outro caso, o calor de uma fonte externa é transferido para um corpo de menor massa, e este corpo é colocado em contato com o corpo de maior massa. Encontre a razão entre as quantidades de calor recebidas de uma fonte externa nos dois casos, se o calor transferido de um corpo para o outro foi o mesmo em ambos os casos.

Passo 1

Enunciados e dados importantes (vou listar 50, 51 e 52 separadamente para não confundir):
  1. O que se pede: calcular a temperatura final da panela e do seu conteúdo e determinar a fase da água (líquida ou gasosa). Dados fornecidos: massa da panela (incluindo tampa) m_{\text{pan}}=2,0\\ \mathrm{kg} e temperatura inicial T_{\text{pan,i}}=150^\circ\mathrm{C}; massa da água m_w=0,10\\ \mathrm{kg} e temperatura inicial T_{w,i}=25^\circ\mathrm{C}. Foi fechado com tampa e não há perda de vapor nem troca de calor com o ambiente. (Usarei valores usuais: calor específico do cobre c_{\text{Cu}}=385\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, calor específico da água c_w=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} e calor latente de vaporização da água L_v=2,26\times10^{6}\\ \mathrm{J/kg}.)
  2. O que se pede: dada a mesma energia consumida em dois processos diferentes com ovos, encontrar em quantos graus \Delta T a mesma panela com a mesma quantidade de água, sem ovos, aquecerá com a mesma energia. Dados: no processo A (panela + água + 1 ovo) a elevação é \Delta T_1=6^\circ\mathrm{C}. No processo B (mesma panela + mesma água + 3 ovos) a elevação é \Delta T_2=4^\circ\mathrm{C}. Nos três processos a água não ferve. Queremos \Delta T para panela+água sem ovos com a mesma energia.
  3. O que se pede: dois corpos A e B têm o mesmo calor específico c, massas relacionadas por m_A=2m_B e mesmas temperaturas iniciais. Em um caso aquece-se o corpo de maior massa (recebe calor Q_1) e depois se o coloca em contato com o menor; no outro caso aquece-se o corpo de menor massa (recebe calor Q_2) e depois o coloca-se em contato com o maior. Foi informado que o calor transferido de um corpo para o outro (durante o contato) é o mesmo nos dois casos. Pedem a razão entre as quantidades de calor recebidas da fonte externa nos dois casos, isto é Q_1/Q_2.

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicação didática curta):
  • Conservação de energia térmica (calor): se não há perdas, o calor cedido por corpos que se resfriam é igual ao calor absorvido por corpos que se aquecem, incluindo calor de mudança de fase.
  • Calor sensível: quantidade de energia necessária para mudar a temperatura de uma massa m de um material com calor específico c é \displaystyle Q = m\,c\,\Delta T. Aqui m em kg, c em \mathrm{J/(kg\cdot K)} e \Delta T em K (ou °C).
  • Calor latente (de vaporização): energia para transformar massa m de líquido em vapor a temperatura de ebulição é \displaystyle Q_{\text{vap}} = m\,L_v, onde L_v é o calor latente em \mathrm{J/kg}.
    Vou aplicar essas fórmulas passo a passo em cada item.

Passo 3

Resolução do problema 50 — passo inicial: verificar se, sem mudança de fase, a temperatura de equilíbrio ficaria acima ou abaixo de 100^\circ\mathrm{C} (isto indica se há vaporização).
Calculo hipotético da temperatura final \displaystyle T_{\text{eq}} supondo que nenhuma água evapore (somente troca sensível de calor):
T_{\text{eq}}=\frac{m_{\text{pan}} c_{\text{Cu}} T_{\text{pan,i}} + m_w c_w T_{w,i}}{m_{\text{pan}} c_{\text{Cu}} + m_w c_w}.
Substituindo os números:
m_{\text{pan}} c_{\text{Cu}} = 2{,}0\cdot 385 = 770\\ \mathrm{J/K},
m_w c_w = 0{,}10\cdot 4186 = 418{,}6\\ \mathrm{J/K},
\text{soma de energias iniciais} = 770\cdot 150 + 418{,}6\cdot 25 = 115500 + 10465 = 125965\\ \mathrm{J}.
\text{soma das capacidades térmicas} = 770 + 418{,}6 = 1188{,}6\\ \mathrm{J/K}.é
T_{\text{eq}} = \frac{125965}{1188{,}6}\approx 106{,}0^\circ\mathrm{C}.
Como T_{\text{eq}}>100^\circ\mathrm{C}, a suposição de “sem vaporização” leva a um valor acima de 100^\circ\mathrm{C}. Isso indica que, efetivamente, parte da energia liberada pela panela ao esfriar será gasta em levar a água a 100^\circ\mathrm{C} e então em vaporizar parte da água. Portanto o equilíbrio com coexistência de líquido e vapor ocorrerá a 100^\circ\mathrm{C} (assumindo pressão ambiente e que a água pode ferver até evaporar parte dela).

Passo 4

Continuo 50 — calcular energia disponível para aquecer e vaporizar a água: primeiro cálculo da energia cedida pela panela ao esfriar de 150^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{pan,ced}} = m_{\text{pan}} c_{\text{Cu}} (150-100) = 2{,}0\cdot 385\cdot 50 = 770\cdot 50 = 38500\\ \mathrm{J}.
Energia necessária para aquecer a água de 25^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{w,aquecer}} = m_w c_w (100-25) = 0{,}10\cdot 4186\cdot 75 = 0{,}10\cdot 313950 = 31395\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Ainda 50 — energia restante que pode vaporizar parte da água:
Q_{\text{rest}} = Q_{\text{pan,ced}} - Q_{\text{w,aquecer}} = 38500 - 31395 = 7105\\ \mathrm{J}.
Massa de água vaporizada m_{\text{vap}}:
m_{\text{vap}} = \frac{Q_{\text{rest}}}{L_v} = \frac{7105}{2{,}26\times10^{6}} \approx 3{,}144\times10^{-3}\\ \mathrm{kg} = 3{,}144\\ \mathrm{g}.
Massa de água líquida que sobra:
m_{\text{liquid}} = 0{,}10 - 0{,}003144 \approx 0{,}096856\\ \mathrm{kg}\approx 96{,}9\\ \mathrm{g}.

Passo 6

Conclusões do problema 50 (explicando para a prova): como a panela tinha energia suficiente para aquecer a água até 100^\circ\mathrm{C} e ainda fornecer 7105\\ \mathrm{J}, uma pequena fração da água evapora; o sistema com água líquida e vapor alcança 100^\circ\mathrm{C}. Portanto a temperatura final da panela e do seu conteúdo é 100^\circ\mathrm{C}. A água está em parte líquida e em parte gasosa — coexistem líquido e vapor; a massa evaporada é aproximadamente 3{,}1\\ \mathrm{g}.

Passo 7

Resolução do problema 51 — montar equações e resolver (passo a passo e didático):
Defino C como a capacidade térmica da panela + água (isto é C = m_{\text{pan+água}} cá conjunto) e E_{\text{ovo}} como a capacidade térmica de um ovo inteiro (valor em J/K, não precisamos do valor numérico absoluto). Energia fornecida E é a mesma nos dois primeiros processos.
No processo 1 (panela + água + 1 ovo), energia E produz \Delta T_1=6^\circ\mathrm{C}. Logo:
E = (C + E_{\text{ovo}})\,\Delta T_1 = (C + E_{\text{ovo}})\cdot 6.
No processo 2 (panela + água + 3 ovos), a mesma energia E produz \Delta T_2=4^\circ\mathrm{C}. Logo:
E = (C + 3E_{\text{ovo}})\,\Delta T_2 = (C + 3E_{\text{ovo}})\cdot 4.
Igualando as duas expressões para E:
(C + E_{\text{ovo}})\cdot 6 = (C + 3E_{\text{ovo}})\cdot 4.

Passo 8

Continuo 51 — resolvendo a equação:
Expandindo e rearranjando:
6C + 6E_{\text{ovo}} = 4C + 12E_{\text{ovo}},
6C - 4C = 12E_{\text{ovo}} - 6E_{\text{ovo}},
2C = 6E_{\text{ovo}},
C = 3E_{\text{ovo}}.
Isso significa que a capacidade térmica da panela+água é igual a 3 vezes a capacidade térmica de um ovo.
Agora queremos a elevação \Delta T que a mesma energia E provocaria na panela+água sozinhas:
E = C\,\Delta T \quad\Rightarrow\quad \Delta T = \frac{E}{C}.
Mas de E = (C + E_{\text{ovo}})\cdot 6 temos numericamente:
E = (C + E_{\text{ovo}})\cdot 6 = (3E_{\text{ovo}} + E_{\text{ovo}})\cdot 6 = 4E_{\text{ovo}}\cdot 6 = 24E_{\text{ovo}}.
Portanto
\Delta T = \frac{E}{C} = \frac{24E_{\text{ovo}}}{3E_{\text{ovo}}} = 8^\circ\mathrm{C}.

Passo 9

Resolução do problema 52 — montar modelo e resolver (passo a passo):
Dados: calor específico comum c, massas m_A=2m_B, temperaturas iniciais iguais T_0.
Caso 1 (aquecem o maior A com calor Q_1, depois põem em contato com B):
  • A recebe Q_1 de fonte externa, sua temperatura sobe em \Delta T_A = Q_1/(m_A c). Então T_{A,\text{após}} = T_0 + Q_1/(m_A c)ó.
  • Ao colocar em contato com B (a temperatura de B ainda T_0), haverá equilíbrio térmico final T_{f1}. Conservação de energia entre A e B (sem perdas):
m_A c T_{A,\text{após}} + m_B c T_0 = (m_A + m_B) c T_{f1}.ó
Isolando T_{f1}:
T_{f1} = T_0 + \frac{Q_1}{c(m_A + m_B)}.
A quantidade de calor transferida de A para B (durante o contato) é o calor ganho por B:
Q_{\text{int},1} = m_B c (T_{f1} - T_0) = m_B \cdot \frac{Q_1}{m_A + m_B}.
Caso 2 (aquecem o menor B com calor Q_2, depois põem em contato com A):
  • B recebe Q_2, sobe para T_{B,\text{após}} = T_0 + Q_2/(m_B c)ó.
  • Ao equilibrar com A, temperatura final
T_{f2} = T_0 + \frac{Q_2}{c(m_A + m_B)}.
A quantidade de calor transferida de B para A (durante o contato) é o ganho de A:
Q_{\text{int},2} = m_A c (T_{f2} - T_0) = m_A \cdot \frac{Q_2}{m_A + m_B}.

Passo 10

Continuo 52 — usar a condição do enunciado: o calor transferido entre corpos durante o contato é o mesmo nos dois casos, isto é
Q_{\text{int},1} = Q_{\text{int},2}.
Substituindo as expressões:
m_B \cdot \frac{Q_1}{m_A + m_B} = m_A \cdot \frac{Q_2}{m_A + m_B}.
Cancelando o denominador comum m_A + m_B:
m_B Q_1 = m_A Q_2 \quad\Rightarrow\quad \frac{Q_1}{Q_2} = \frac{m_A}{m_B}.
Como m_A = 2 m_B, obtemos
\frac{Q_1}{Q_2} = 2.

Resposta

  1. T_{\text{final}}=100^\circ\mathrm{C}. A água fica em parte líquida e em parte gasosa; massa vaporizada \approx 3{,}14\\ \mathrm{g} (restam \approx 96{,}9\\ \mathrm{g} líquida).
  2. \Delta T=8^\circ\mathrm{C}.
  3. \displaystyle \frac{Q_1}{Q_2}=2.

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