• 54 Uma bobina circular de 15,0 \mathrm{~cm} de raio conduz uma corrente de 2,60 \mathrm{~A}. A normal ao plano da bobina faz um ângulo de 41,0^{\circ} \mathrm{com} um campo magnético uniforme de módulo 12,0 \mathrm{~T}. (a) Calcule o módulo do momento dipolar magnético da bobina. (b) Qual é o módulo do torque que age sobre a bobina?
  • 55 Uma bobina circular de 160 espiras tem um raio de 1,90 cm . (a) Calcule a corrente que resulta em um momento dipolar magnético de módulo 2,30 \mathrm{~A} \cdot \mathrm{~m}^{2}. (b) Determine o valor máximo do torque a que a bobina é submetida quando, sendo percorrida por essa corrente, é colocada na presença de um campo magnético uniforme de módulo 35,0 \mathrm{mT}.

Passo 1

Vou listar claramente o que cada item pede e quais dados o enunciado fornece.
Questão 54 (uma volta, bobina simples)
  • Dados:
    • raio da bobina: R=0,150\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado).
    • corrente: I=2,60\\ \mathrm{A} (peguei do enunciado).
    • campo magnético: B=12,0\\ \mathrm{T} (peguei do enunciado).
    • o ângulo entre a normal ao plano da bobina e o campo: \theta=41,0^\circ (peguei do enunciado).
  • Pedidos:
    • (a) calcular o módulo do momento dipolar magnético da bobina;
    • (b) calcular o módulo do torque que age sobre a bobina.
Questão 55 (bobina de N voltas)
  • Dados:
    • número de espiras: N=160 (peguei do enunciado).
    • raio da bobina: R=0,0190\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado; 1,90\\ \mathrm{cm}=0,0190\\ \mathrm{m}).
    • momento dipolar desejado: \mu=2,30\\ \mathrm{A\cdot m^{2}} (peguei do enunciado).
    • campo magnético para (b): B=35,0\\ \mathrm{mT}=0,0350\\ \mathrm{T} (peguei do enunciado).
  • Pedidos:
    • (a) determinar a corrente I que resulta em \mu=2,30\\ \mathrm{A\cdot m^{2}};
    • (b) determinar o valor máximo do torque quando essa bobina, percorrida por essa corrente, está em B=0,0350\\ \mathrm{T}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo, devagar e com exemplo simples).
  • Momento dipolar magnético de uma bobina: \vec{\mu}=N I \, \vec{A}Aqui:
    • N é o número de espiras (para uma única volta, N=1).
    • I é a corrente na bobina.
    • \vec{A} é o vetor área da bobina: magnitude A e direção dada pela normal à superfície (regra da mão direita).
    • O módulo do momento dipolar é \mu = N I A.
  • Área de uma circunferência (bobina circular): A=\pi R^{2}onde R é o raio.
  • Torque sobre um dipolo magnético em campo uniforme: \vec{\tau}=\vec{\mu}\times\vec{B}e o módulo é \tau=\mu B \sin\theta,onde \theta é o ângulo entre \vec{\mu} (normal ao plano da bobina) e \vec{B}. O torque máximo ocorre quando \sin\theta=1 (ou seja, \theta=90^\circ).
Vou usar essas fórmulas diretamente nos cálculos.

Passo 3

Aplicando ao item 54(a): calcular \mu para uma bobina de uma volta ( N=1).
  1. Calcular a área:
A=\pi R^{2}=\pi (0,150)^{2}=\pi\cdot 0,0225.
  1. Avaliando numericamente:
A\approx 0,07069\\ \mathrm{m^{2}}
(uso \pi\approx 3,14159; \pi\cdot 0,0225\approx 0,0706858, arredondei a 5 casas relevantes).
  1. Agora o momento magnético:
\mu = N I A = 1\cdot 2,60\cdot 0,07069 \approx 0,1838\\ \mathrm{A\cdot m^{2}}.
(Produto direto: 2,60\cdot 0,07069\approx 0,1838.)

Passo 4

Explicando o cálculo do torque (fórmula e interpretação) antes de aplicar: para o item 54(b) usamos
\tau=\mu B \sin\theta,
onde:
  • \mu é o módulo do momento magnético que já calculamos,
  • B é o módulo do campo magnético,
  • \theta é o ângulo entre a normal da bobina e o campo (aqui \theta=41,0^\circ).
Lembrete prático: \sin de um ângulo em graus pode ser aproximado com uma tabela ou calculadora; aqui vou usar o valor numérico aproximado.

Passo 5

Calculando 54(b) numericamente.
  1. Calcular \sin\theta:
\sin 41,0^\circ \approx 0,65606.
  1. Substituir:
\tau=\mu B \sin\theta \approx 0,1838\cdot 12,0\cdot 0,65606.
  1. Fazer as multiplicações em ordem fácil:
12,0\cdot 0,65606 \approx 7,8727,
0,1838\cdot 7,8727 \approx 1,4469\\ \mathrm{N\cdot m}.
  1. Arredondando de forma sensata (dados têm 3 dígitos significativos), obtenho
\tau \approx 1,45\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

Agora vamos para a Questão 55. Relembrando: aqui N=160 espiras, raio R=0,0190\\ \mathrm{m}, e queremos a corrente I que dá \mu=2,30\\ \mathrm{A\cdot m^{2}}.
Usamos a mesma fórmula do momento magnético, agora com N geral:
\mu = N I A \quad\Rightarrow\quad I=\frac{\mu}{N A}.

Passo 7

Calcular a área da espira em 55:
A=\pi R^{2}=\pi(0,0190)^{2}=\pi\cdot 0,000361.
Numericamente:
A\approx 0,0011341\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora calcular N A:
N A = 160\cdot 0,0011341 \approx 0,18146\\ \mathrm{m^{2}}.
Então a corrente necessária:
I=\frac{\mu}{N A}=\frac{2,30}{0,18146}\approx 12,68\\ \mathrm{A}.
Arredondando a três algarismos significativos (consistente com os dados):
I \approx 12,7\\ \mathrm{A}.

Passo 8

Item 55(b): torque máximo quando a bobina está orientada com \sin\theta=1, ou seja \tau_{\max}=\mu B.
Dados: \mu=2,30\\ \mathrm{A\cdot m^{2}} (dado do enunciado) e B=0,0350\\ \mathrm{T}.
Calcular:
\tau_{\max}=\mu B = 2,30\cdot 0,0350 = 0,0805\\ \mathrm{N\cdot m}.
Arredondando a três algarismos significativos:
\tau_{\max}\approx 0,0805\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 9

Verificação rápida de unidades e plausibilidade:
  • \mu tem unidade \mathrm{A\cdot m^{2}} — ok.
  • \tau=\mu B \mathrm{A\cdot m^{2}\cdot T}. Como 1\\ \mathrm{T}=1\\ \mathrm{N/(A\cdot m)}, resulta em \mathrm{N\cdot m} — ok.
  • Ordens de grandeza parecem coerentes: bobina pequena com corrente moderada dá \mu pequeno e torque pequeno/mediano.

Resposta

54(a) \mu \approx 0,1838\\ \mathrm{A\cdot m^{2}}
54(b) \tau \approx 1,45\\ \mathrm{N\cdot m}
55(a) I \approx 12,7\\ \mathrm{A}
55(b) \tau_{\max} \approx 0,0805\\ \mathrm{N\cdot m}

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