Durante as férias de inverno, você participa de uma corrida de trenós em
um lago congelado. Nesta corrida, cada trenó é puxado por uma pessoa, e não por cães. Na partida, você puxa o trenó ( massa total de 80 ) com uma força de 180 a 40^{\circ} acima da horizontal. Encontre (a) o trabalho realizado por você e (b) a velocidade final do trenó após se deslocar \Delta=5,0, supondo que ele parte do repouso e que não existe atrito?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • Massa total do trenó mais você: m=80\\ \mathrm{kg}.
  • Força que você aplica: F=180\\ \mathrm{N} dirigida a 40^\circ acima da horizontal.
  • Deslocamento horizontal do trenó: \Delta=5,0\\ \mathrm{m}.
  • O trenó parte do repouso.
  • Não existe atrito (logo não há força dissipativa no deslocamento horizontal).
O que o problema pede:
(a) o trabalho realizado por você durante o deslocamento \Delta;
(b) a velocidade final do trenó após esse deslocamento.

Passo 2

Entendendo e calculando o trabalho: definição e fórmula usada.
Conceito (explicando devagar): o trabalho realizado por uma força constante sobre um corpo que se desloca é o produto escalar (dot product) entre o vetor força \vec{F} e o vetor deslocamento \vec{s}:
W=\vec{F}\cdot\vec{s}.
Se a força forma um ângulo \theta com o deslocamento (aqui o deslocamento é horizontal e a força está a 40^\circ acima da horizontal), essa fórmula vira a forma escalar bem conhecida:
W=F\,s\,\cos\theta,
onde
  • W é o trabalho (em joules, \mathrm{J}),
  • F é a intensidade da força (em newtons, \mathrm{N}),
  • s é o módulo do deslocamento (em metros, \mathrm{m}),
  • \theta é o ângulo entre a força e o deslocamento.
Aplicando aos números do enunciado: aqui F=180\\ \mathrm{N}, s=\Delta=5,0\\ \mathrm{m} e \theta=40^\circ. Então
W = 180\cdot 5,0 \cdot \cos40^\circ.
Agora calculamos \cos40^\circ. Um valor aproximado é \cos40^\circ\approx0,7660. Substituindo:
W \approx 180\cdot 5,0 \cdot 0,7660 = 900\cdot 0,7660 \approx 689,4\\ \mathrm{J}.
Portanto o trabalho realizado por você é aproximadamente 6,89\times10^{2}\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Por que só esse trabalho muda a energia cinética? (importante para a velocidade)
Explicação didática: o teorema trabalho-energia diz que o trabalho líquido realizado sobre o corpo é igual à variação da sua energia cinética:
W_{\rm net}=\Delta K = \frac{1}{2}m v^2 - \frac{1}{2}m v_0^2,
onde m é a massa, v_0 a velocidade inicial e v a velocidade final.
Aqui v_0=0 (parte do repouso). Precisamos ver quais forças fazem trabalho ao deslocamento horizontal:
  • A sua força \vec{F} tem componente horizontal e, por isso, realiza o trabalho que calculamos.
  • A componente vertical da sua força não realiza trabalho porque não há deslocamento vertical (deslocamento é horizontal).
  • O peso \vec{P} e a normal \vec{N} também não realizam trabalho porque atuam verticalmente enquanto o deslocamento é horizontal (assumimos que o trenó não sobe nem desce).
  • Não há atrito segundo o enunciado.
Logo o trabalho líquido W_{\rm net} é igual ao trabalho que você fez: W_{\rm net}=W.
Aplicando o teorema trabalho-energia:
W = \frac{1}{2}m v^2 - 0 \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{2W}{m}}.

Passo 4

Calcule v com os valores já obtidos.
Substituindo W\approx689,4\\ \mathrm{J} e m=80\\ \mathrm{kg}:
v=\sqrt{\frac{2\cdot 689{,}4}{80}}=\sqrt{\frac{1\,378{,}8}{80}}=\sqrt{17{,}235} \approx 4{,}15\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Resumo físico e verificação rápida:
  • O trabalho positivo W\approx6,89\times10^{2}\\ \mathrm{J} aumenta a energia cinética do trenó.
  • A velocidade final calculada v\approx4,15\\ \mathrm{m/s} tem unidades coerentes e ordem de grandeza plausível para os dados dados.
Força, energia e velocidade conferem entre si: tudo faz sentido fisicamente — boa!

Resposta

(a) W\approx6,89\times10^{2}\\ \mathrm{J}
(b) v\approx4,15\\ \mathrm{m/s}

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