-56 O módulo de momento dipolar magnético da Terra é 8,00 \times 10^{22} \mathrm{~J} / \mathrm{T}. Suponha que esse momento é produzido por cargas que circulam na parte externa do núcleo da Terra. Se o raio da trajetória dessas cargas é 3500 km , calcule a corrente associada.
  • 57 Uma bobina que conduz uma corrente de 5,0 A tem a forma de um triângulo retângulo cujos lados medem 30, 40 e 50 cm . A bobina é submetida a um campo magnético uniforme de módulo 80 mT paralelo à corrente no lado de 50 cm da bobina. Determine o módulo (a) do momento dipolar magnético da bobina; (b) do torque sobre a bobina.

Passo 1

Vou listar claramente o que cada enunciado dá e pede (dois itens separados, peguei todos os números do enunciado).
Problema 56 (primeiro item):
  • Dados:
    • Momento dipolar magnético da Terra: \,m=8,00\times 10^{22}\\ \mathrm{J/T} (peguei esse valor do enunciado).
    • Raio da trajetória das cargas: \,r=3500\\ \mathrm{km}=3{,}500\times 10^{3}\\ \mathrm{m}=3{,}5\times 10^{6}\\ \mathrm{m} (conversão de unidades feita a partir do enunciado).
  • Pedido:
    • Calcular a corrente elétrica I que, circulando em um circuito circular de raio r, produziria o momento dipolar m.
Problema 57 (segundo item):
  • Dados:
    • Corrente na bobina: \,I=5{,}0\\ \mathrm{A} (peguei do enunciado).
    • Forma da bobina: triângulo retângulo com lados 30\\ \mathrm{cm}, 40\\ \mathrm{cm} e 50\\ \mathrm{cm} (peguei do enunciado).
    • Campo magnético uniforme: \,B=80\\ \mathrm{mT}=0{,}080\\ \mathrm{T} (conversão de unidades feita a partir do enunciado).
    • O campo é paralelo à corrente no lado de 50\\ \mathrm{cm} (ou seja, o campo está no plano da bobina, paralelo ao lado de 50\\ \mathrm{cm}).
  • Pedidos:
    • (a) Determinar o módulo do momento dipolar magnético da bobina.
    • (b) Determinar o módulo do torque sobre a bobina.

Passo 2

Teoria essencial para ambos os problemas — momento dipolar magnético de uma espira plana e torque magnético:
  • Uma espira plana que conduz corrente I e tem área A possui momento dipolar magnético (vetorial) \vec{m} cujo módulo é
m = I\,A.
Aqui I é a corrente (em ampère) e A é a área da espira (em metros quadrados). A unidade de m é \mathrm{A\cdot m^{2}}, que equivale a \mathrm{J/T}.
  • O torque magnético sobre esse dipolo imerso em um campo magnético uniforme \vec{B} tem módulo
\tau = m\,B\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre o vetor \vec{m} e \vec{B}. Lembre-se que o vetor \vec{m} é perpendicular ao plano da espira (direção dada pela regra da mão direita com a corrente).
Vou aplicar essas fórmulas com cuidado, convertendo unidades quando necessário e explicando cada passo.

Passo 3

Resolução do Problema 56 — expressar a corrente em função de m e r.
  • Para uma espira circular de raio r a área é
A=\pi r^{2}.
  • Como m=I\,A, isolamos I:
I=\frac{m}{A}=\frac{m}{\pi r^{2}}.
Agora vamos substituir os valores numéricos, com atenção às unidades.

Passo 4

Cálculo numérico do Problema 56.
  • Primeiro calcule r^{2}. Com r=3{,}5\times 10^{6}\\ \mathrm{m},
r^{2}=(3{,}5\times 10^{6})^{2}=3{,}5^{2}\times 10^{12}=12{,}25\times 10^{12}=1{,}225\times 10^{13}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Em seguida calcule \pi r^{2}:
\pi r^{2}=\pi\times 1{,}225\times 10^{13}\approx 3{,}8469\times 10^{13}\\ \mathrm{m^{2}}.
(foi usado \pi\approx 3{,}14159265; mantive algumas casas para precisão adequada).
  • Finalmente calcule I:
I=\frac{m}{\pi r^{2}}=\frac{8{,}00\times 10^{22}}{3{,}8469\times 10^{13}}\\ \mathrm{A}\approx 2{,}08\times 10^{9}\\ \mathrm{A}.
Interpretação rápida: é uma corrente extremamente grande, o que indica que modelar o campo da Terra como uma única espira simples exige correntes colossais (é só um modelo simples).

Passo 5

Resolução do Problema 57 — cálculo da área da bobina triangular e do momento dipolar.
  • Como a bobina tem a forma de um triângulo retângulo cujos catetos são 30\\ \mathrm{cm} e 40\\ \mathrm{cm} (e hipotenusa 50\\ \mathrm{cm}), a área do triângulo é
A=\frac{1}{2}\times(\text{cateto}_1)\times(\text{cateto}_2).
  • Converter os comprimentos para metros:
30\\ \mathrm{cm}=0{,}30\\ \mathrm{m},\qquad 40\\ \mathrm{cm}=0{,}40\\ \mathrm{m}.
  • Então a área é
A=\frac{1}{2}\times 0{,}30\times 0{,}40=\frac{1}{2}\times 0{,}12=0{,}06\\ \mathrm{m^{2}}.
  • O módulo do momento dipolar é, como já vimos,
m=I\,A.
Substituindo I=5{,}0\\ \mathrm{A} e A=0{,}06\\ \mathrm{m^{2}}:
m=5{,}0\times 0{,}06=0{,}30\\ \mathrm{A\cdot m^{2}}.

Passo 6

Cálculo do torque no Problema 57 — entender o ângulo entre \vec{m} e \vec{B}.
  • O vetor \vec{m} é perpendicular ao plano da bobina (direção dada pela regra da mão direita com a corrente). O enunciado diz que o campo \vec{B} é paralelo à corrente no lado de 50\\ \mathrm{cm}. Esse lado está contido no plano do triângulo, logo \vec{B} está no plano da bobina.
  • Portanto o ângulo entre \vec{m} (perpendicular ao plano) e \vec{B} (no plano) é \theta=90^\circ. Assim \sin\theta=\sin 90^\circ=1.
  • O módulo do torque é então
\tau=m\,B\,\sin\theta=m\,B.
  • Substituindo m=0{,}30\\ \mathrm{A\cdot m^{2}} e B=0{,}080\\ \mathrm{T}:
\tau=0{,}30\times 0{,}080=0{,}024\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 7

Comentários finais e verificação de unidades (pequena checagem para ficar tranquilo):
  • No Problema 56, I ficou em ampère como esperado.
  • No Problema 57, m em \mathrm{A\cdot m^{2}} (ou \mathrm{J/T}) e \tau em \mathrm{N\cdot m}, unidades coerentes com as fórmulas usadas.

Resposta

Problema 56: I\approx 2{,}08\times 10^{9}\\ \mathrm{A}
Problema 57 (a): m=0{,}30\\ \mathrm{A\cdot m^{2}}
Problema 57 (b): \tau=0{,}024\\ \mathrm{N\cdot m}

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