5.54 • Uma roda-gigante em Yokohama, no Japão, possui um diâmetro de 100 m . Ela faz uma volta a cada 60 segundos, como o ponteiro de segundos de um relógio. (a) Calcule a velocidade de um passageiro quando a roda-gigante gira a essa velocidade. (b) Um passageiro pesa 882 N em uma balança no solo. Qual é seu peso aparente nos pontos mais alto e mais baixo da roda-gigante? (c) Qual deveria ser o tempo de uma volta para que o peso aparente no ponto mais alto fosse igual a zero? (d) Neste caso, qual deveria ser o peso aparente no ponto mais baixo?
5.55 •• Um avião faz uma volta circular completa em um plano vertical (em inglês um “loop”) com um raio de 150 m . A cabeça do piloto sempre aponta para o centro do círculo. A velocidade do avião não é constante; o avião vai mais devagar no topo do círculo e tem velocidade maior na base do círculo. (a) No topo do círculo, o piloto possui peso aparente igual a zero. Qual é a velocidade do avião nesse ponto? (b) Na base do círculo, a velocidade do avião é de
. Qual é o peso aparente do piloto nesse ponto? O peso real do piloto é 700 N .
5.55 •• Um avião faz uma volta circular completa em um plano vertical (em inglês um “loop”) com um raio de 150 m . A cabeça do piloto sempre aponta para o centro do círculo. A velocidade do avião não é constante; o avião vai mais devagar no topo do círculo e tem velocidade maior na base do círculo. (a) No topo do círculo, o piloto possui peso aparente igual a zero. Qual é a velocidade do avião nesse ponto? (b) Na base do círculo, a velocidade do avião é de
Passo 1
Enunciados e o que é pedido.
Problema 5.54 (roda‑gigante):
- Dados:
- Diâmetro:
(logo ). - Período:
. - Peso no solo:
(peso real). - Aceleração da gravidade que usaremos:
.
- Diâmetro:
- Perguntas:
(a) Calcular a velocidade do passageiro quando a roda gira nesse período.
(b) Calcular o peso aparente (força normal da balança/assento) nos pontos mais alto e mais baixo da roda.
(c) Determinar o tempo de volta para que o peso aparente no ponto mais alto seja zero.
(d) Para esse tempo (do item c), qual é o peso aparente no ponto mais baixo?
Problema 5.55 (loop do avião):
- Dados:
- Raio do loop:
. - Peso real do piloto:
. - Aceleração da gravidade:
.
- Raio do loop:
- Perguntas:
(a) No topo do loop, o peso aparente do piloto é zero. Qual é a velocidade do avião nesse ponto?
(b) Na base do loop, a velocidade é. Qual é o peso aparente do piloto nesse ponto?
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais (explicação didática).
- Movimento circular uniforme ou aproximadamente circular: para manter uma trajetória circular é necessária uma aceleração dirigida ao centro do círculo, chamada aceleração centrípeta.
- Fórmula da aceleração centrípeta:
onde
é a velocidade tangencial e
é o raio do círculo. Explicação: a aceleração centrípeta tem módulo
e direção sempre apontando para o centro.
- Relação velocidade ‑ período:
onde
é o tempo de uma volta (período). Motivo: em uma volta o percurso é a circunferência
, e velocidade média/constante tangencial é distância dividida pelo tempo.
- Interpretação do “peso aparente”: é a força normal (
) que a superfície (assento, balança) exerce sobre a pessoa. Em situações de curva vertical usamos a segunda lei de Newton somando forças na direção do centro do círculo. - Forças no topo e na base (explicação detalhada):
- No topo: o centro está para baixo. Forças verticais são o peso
para baixo e a normal que geralmente aponta para cima (ou seja, contrária ao centro). A soma das forças projetadas na direção do centro (para baixo) deve ser . Então
de onde - Na base: o centro está para cima. Forças verticais projetadas na direção do centro (para cima) devem ser
. Assim
de onde - No topo: o centro está para baixo. Forças verticais são o peso
- Observação útil: se
então . Essa condição dá a velocidade que “faz” o passageiro ficar sem contato no topo.
Passo 3
Resolver 5.54(a): velocidade do passageiro.
- Dados:
, . - Usamos
.
- Valor numérico:
Passo 4
Calcular a aceleração centrípeta que usaremos nos itens seguintes (5.54).
- Fórmula:
. - Primeiro calcule
. Como ,
- Numérico:
- Agora
Passo 5
Resolver 5.54(b): peso aparente no topo e no fundo.
- Primeiro encontre a massa do passageiro a partir do peso real dado
:
- No topo:
Substituindo números:
Arredondando de forma razoável:
.
- Na base:
Substituindo:
Arredondando:
.
Passo 6
Resolver 5.54(c): tempo de uma volta para que o peso aparente no topo seja zero.
- Condição
implica , ou seja
- Então
. Mas . Igualando:
- Resolva para
:
- Substituindo
e :
Arredondando:
Passo 7
Resolver 5.54(d): peso aparente no ponto mais baixo para o caso do item (c).
- Quando
, temos . - Assim
- Usando o peso real dado (
):
Passo 8
Resolver 5.55(a): velocidade no topo quando o peso aparente é zero.
- Situação idêntica ao raciocínio do item 5.54(c):
. - Logo
- Substituindo
e :
Passo 9
Resolver 5.55(b): peso aparente na base com velocidade dada.
- Primeiro convertemos a velocidade de
para :
- Massa do piloto a partir do peso real:
- Calcule
. Primeiro :
Então
- Peso aparente na base:
Arredondando:
Resposta
5.54 (a)
5.54 (b)
5.54 (c)
5.54 (d)
5.54 (b)
5.54 (c)
5.54 (d)
5.55 (a)
5.55 (b)
5.55 (b)