5.54 • Uma roda-gigante em Yokohama, no Japão, possui um diâmetro de 100 m . Ela faz uma volta a cada 60 segundos, como o ponteiro de segundos de um relógio. (a) Calcule a velocidade de um passageiro quando a roda-gigante gira a essa velocidade. (b) Um passageiro pesa 882 N em uma balança no solo. Qual é seu peso aparente nos pontos mais alto e mais baixo da roda-gigante? (c) Qual deveria ser o tempo de uma volta para que o peso aparente no ponto mais alto fosse igual a zero? (d) Neste caso, qual deveria ser o peso aparente no ponto mais baixo?
5.55 •• Um avião faz uma volta circular completa em um plano vertical (em inglês um “loop”) com um raio de 150 m . A cabeça do piloto sempre aponta para o centro do círculo. A velocidade do avião não é constante; o avião vai mais devagar no topo do círculo e tem velocidade maior na base do círculo. (a) No topo do círculo, o piloto possui peso aparente igual a zero. Qual é a velocidade do avião nesse ponto? (b) Na base do círculo, a velocidade do avião é de 280 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Qual é o peso aparente do piloto nesse ponto? O peso real do piloto é 700 N .

Passo 1

Enunciados e o que é pedido.
Problema 5.54 (roda‑gigante):
  • Dados:
    • Diâmetro: \,100\\ \mathrm{m}\, (logo r=50\\ \mathrm{m}).
    • Período: \,T=60\\ \mathrm{s}\,.
    • Peso no solo: \,882\\ \mathrm{N}\, (peso real).
    • Aceleração da gravidade que usaremos: \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}\,.
  • Perguntas:
    (a) Calcular a velocidade do passageiro quando a roda gira nesse período.
    (b) Calcular o peso aparente (força normal da balança/assento) nos pontos mais alto e mais baixo da roda.
    (c) Determinar o tempo de volta para que o peso aparente no ponto mais alto seja zero.
    (d) Para esse tempo (do item c), qual é o peso aparente no ponto mais baixo?
Problema 5.55 (loop do avião):
  • Dados:
    • Raio do loop: \,r=150\\ \mathrm{m}\,.
    • Peso real do piloto: \,700\\ \mathrm{N}\,.
    • Aceleração da gravidade: \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}\,.
  • Perguntas:
    (a) No topo do loop, o peso aparente do piloto é zero. Qual é a velocidade do avião nesse ponto?
    (b) Na base do loop, a velocidade é \,280\\ \mathrm{km/h}\,. Qual é o peso aparente do piloto nesse ponto?

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicação didática).
  • Movimento circular uniforme ou aproximadamente circular: para manter uma trajetória circular é necessária uma aceleração dirigida ao centro do círculo, chamada aceleração centrípeta.
  • Fórmula da aceleração centrípeta:
a_c=\frac{v^2}{r},
onde \,v\, é a velocidade tangencial e \,r\, é o raio do círculo. Explicação: a aceleração centrípeta tem módulo v^2/r e direção sempre apontando para o centro.
  • Relação velocidade ‑ período:
v=\frac{2\pi r}{T},
onde \,T\, é o tempo de uma volta (período). Motivo: em uma volta o percurso é a circunferência 2\pi r, e velocidade média/constante tangencial é distância dividida pelo tempo.
  • Interpretação do “peso aparente”: é a força normal ( N) que a superfície (assento, balança) exerce sobre a pessoa. Em situações de curva vertical usamos a segunda lei de Newton somando forças na direção do centro do círculo.
  • Forças no topo e na base (explicação detalhada):
    • No topo: o centro está para baixo. Forças verticais são o peso mg para baixo e a normal N_{\text{top}} que geralmente aponta para cima (ou seja, contrária ao centro). A soma das forças projetadas na direção do centro (para baixo) deve ser m a_c. Então
    m\frac{v^2}{r}=mg - N_{\text{top}},de onde N_{\text{top}}=mg - m\frac{v^2}{r}.
    • Na base: o centro está para cima. Forças verticais projetadas na direção do centro (para cima) devem ser m a_c. Assim
    m\frac{v^2}{r}=N_{\text{bot}}-mg,de onde N_{\text{bot}}=mg + m\frac{v^2}{r}.
  • Observação útil: se m\frac{v^2}{r}=mg então N_{\text{top}}=0. Essa condição dá a velocidade que “faz” o passageiro ficar sem contato no topo.

Passo 3

Resolver 5.54(a): velocidade do passageiro.
  • Dados: \,r=50\\ \mathrm{m}, \,T=60\\ \mathrm{s}.
  • Usamos \,v=\dfrac{2\pi r}{T}.
v=\frac{2\pi(50)}{60}=\frac{100\pi}{60}=\frac{5\pi}{3}\\ \mathrm{m/s}.
  • Valor numérico:
v\approx\frac{5\cdot 3{,}1416}{3}\approx 5{,}236\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a aceleração centrípeta que usaremos nos itens seguintes (5.54).
  • Fórmula: \,a_c=\dfrac{v^2}{r}.
  • Primeiro calcule v^2. Como \,v=\dfrac{5\pi}{3},
v^2=\left(\frac{5\pi}{3}\right)^2=\frac{25\pi^2}{9}.
  • Numérico:
v^2\approx\frac{25\cdot 9{,}8696}{9}\approx 27{,}416\\ \mathrm{(m/s)^2}.
  • Agora
a_c=\frac{v^2}{r}=\frac{27{,}416}{50}\approx 0{,}5483\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Resolver 5.54(b): peso aparente no topo e no fundo.
  • Primeiro encontre a massa do passageiro a partir do peso real dado \,882\\ \mathrm{N}:
m=\frac{882}{g}=\frac{882}{9{,}8}=90\\ \mathrm{kg}.
  • No topo:
N_{\text{top}}=mg - m\frac{v^2}{r}=m\bigl(g-a_c\bigr).
Substituindo números:
N_{\text{top}}=90\bigl(9{,}8-0{,}5483\bigr)=90\cdot 9{,}2517\approx 832{,}65\\ \mathrm{N}.
Arredondando de forma razoável: \,N_{\text{top}}\approx 833\\ \mathrm{N}.
  • Na base:
N_{\text{bot}}=mg + m\frac{v^2}{r}=m\bigl(g+a_c\bigr).
Substituindo:
N_{\text{bot}}=90\bigl(9{,}8+0{,}5483\bigr)=90\cdot 10{,}3483\approx 931{,}35\\ \mathrm{N}.
Arredondando: \,N_{\text{bot}}\approx 931\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Resolver 5.54(c): tempo de uma volta para que o peso aparente no topo seja zero.
  • Condição N_{\text{top}}=0 implica mg=m\frac{v^2}{r}, ou seja
v^2 = gr.
  • Então v=\sqrt{gr}. Mas v=\dfrac{2\pi r}{T}. Igualando:
\frac{2\pi r}{T}=\sqrt{gr}.
  • Resolva para T:
T=\frac{2\pi r}{\sqrt{gr}}=2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}.
  • Substituindo r=50\\ \mathrm{m} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}:
T=2\pi\sqrt{\frac{50}{9{,}8}}=2\pi\sqrt{5{,}10204}\approx 2\pi\cdot 2{,}2588\approx 14{,}19\\ \mathrm{s}.
Arredondando: \,T\approx 14{,}2\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Resolver 5.54(d): peso aparente no ponto mais baixo para o caso do item (c).
  • Quando v^2=gr, temos m\frac{v^2}{r}=mg.
  • Assim
N_{\text{bot}}=mg+m\frac{v^2}{r}=mg+mg=2mg.
  • Usando o peso real dado ( mg=882\\ \mathrm{N}):
N_{\text{bot}}=2\cdot 882=1764\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Resolver 5.55(a): velocidade no topo quando o peso aparente é zero.
  • Situação idêntica ao raciocínio do item 5.54(c): N_{\text{top}}=0\Rightarrow m\frac{v^2}{r}=mg.
  • Logo
v=\sqrt{gr}.
  • Substituindo g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} e r=150\\ \mathrm{m}:
v=\sqrt{9{,}8\cdot 150}=\sqrt{1470}\approx 38{,}34\\ \mathrm{m/s}.

Passo 9

Resolver 5.55(b): peso aparente na base com velocidade dada.
  • Primeiro convertemos a velocidade de \,280\\ \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}:
280\\ \mathrm{km/h}=280\cdot\frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s}= \frac{280000}{3600}\\ \mathrm{m/s}\approx 77{,}7778\\ \mathrm{m/s}.
  • Massa do piloto a partir do peso real:
m=\frac{700}{9{,}8}\approx 71{,}4286\\ \mathrm{kg}.
  • Calcule m\frac{v^2}{r}. Primeiro v^2:
v^2\approx (77{,}7778)^2\approx 6049{,}38\\ \mathrm{(m/s)^2}.
Então
m\frac{v^2}{r}\approx 71{,}4286\cdot\frac{6049{,}38}{150}\approx 71{,}4286\cdot 40{,}3292\approx 2873{,}52\\ \mathrm{N}.
  • Peso aparente na base:
N_{\text{bot}}=mg + m\frac{v^2}{r}=700 + 2873{,}52\approx 3573{,}52\\ \mathrm{N}.
Arredondando: \,N_{\text{bot}}\approx 3574\\ \mathrm{N}.

Resposta

5.54 (a) \;v=\dfrac{2\pi(50)}{60}=\dfrac{5\pi}{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 5{,}24\\ \mathrm{m/s}.
5.54 (b) \;N_{\text{top}}\approx 833\\ \mathrm{N},\quad N_{\text{bot}}\approx 931\\ \mathrm{N}.
5.54 (c) \;T=2\pi\sqrt{\dfrac{50}{9{,}8}}\approx 14{,}2\\ \mathrm{s}.
5.54 (d) \;N_{\text{bot}}=2mg=1764\\ \mathrm{N}.
5.55 (a) \;v=\sqrt{gr}=\sqrt{9{,}8\cdot 150}\approx 38{,}34\\ \mathrm{m/s}.
5.55 (b) \;N_{\text{bot}}\approx 3574\\ \mathrm{N}.

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