Um corpo de massa m preso a um dinamómetro é completamente submerso em um liquido de densidade \rho. Nessas condiçōes, o dinamômetro indica um valor F. Considerando a aceleração da gravidade igual a g, assinale a opção que corresponde a densidade do corpo.
c) \frac{m g \rho}{F-m g}
a) \frac{m g \rho}{m g-F}
b) \frac{m g \rho}{m g+F}
d) \frac{m g}{m g-F}
e) \frac{m \rho}{m g-F}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados fornecidos:
    • massa do corpo: m
    • densidade do líquido: \rho
    • aceleração da gravidade: g
    • leitura do dinamômetro (tensão): F
    • o corpo está completamente submerso no líquido
  • O que se pede:
    • determinar a densidade do corpo (vou chamar de \rho_{\text{corpo}}) em função de m,\rho,g,F.

Passo 2

Vamos listar as forças que atuam no corpo e escrever a condição de equilíbrio (o corpo está parado, então a soma das forças é zero).
  • Peso para baixo: m g.
  • Força de empuxo (para cima), que é a força do líquido sobre o corpo: vou chamar de E.
  • Força do dinamômetro (tensão) para cima: leitura F.
Como o corpo está em repouso, as forças verticais se equilibram:
F + E = m g.

Passo 3

Explico o empuxo (essa é a parte da física que costuma confundir, mas é simples): pelo princípio de Arquimedes, o empuxo é igual ao peso do volume de líquido deslocado. Como o corpo está completamente submerso, o volume deslocado é o volume do corpo V. Logo:
E = \rho \, g \, V,
onde \rho é a densidade do líquido, g a gravidade e V o volume do corpo. Aqui cada símbolo significa: \rho (massa por unidade de volume do líquido), g (aceleração gravitacional) e V (volume do corpo).

Passo 4

Substituímos E na equação de equilíbrio do Passo 2:
F + \rho g V = m g.
Isolando \rho g V:
\rho g V = m g - F.

Passo 5

Agora relacionamos a densidade do corpo \rho_{\text{corpo}} com m e V. Definição de densidade:
\rho_{\text{corpo}} = \frac{m}{V}.
Queremos \rho_{\text{corpo}}, então vamos eliminar V usando a equação do empuxo.

Passo 6

Da equação \rho g V = m g - F isolamos V:
V = \frac{m g - F}{\rho g}.
Substituímos esse V na definição de \rho_{\text{corpo}}:
\rho_{\text{corpo}} = \frac{m}{V} = \frac{m}{\dfrac{m g - F}{\rho g}}.

Passo 7

Fazendo a divisão por fração (multiplicando pelo inverso) e simplificando cuidadosamente:
\rho_{\text{corpo}} = m \cdot \frac{\rho g}{m g - F} = \frac{m g \rho}{m g - F}.
Expliquei cada passo para você poder refazer sem calculadora: primeiro isolamos V, depois usamos \rho_{\text{corpo}}=m/V e por fim simplificamos os fatores g quando apropriado na multiplicação.

Passo 8

Conclusão rápida: a densidade do corpo encontrada é \dfrac{m g \rho}{m g - F}. Comparando com as alternativas dadas, isso corresponde à letra (a).

Resposta

a) \dfrac{m g \rho}{m g - F}

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