Um corpo de massa
preso a um dinamómetro é completamente submerso em um liquido de densidade
. Nessas condiçōes, o dinamômetro indica um valor
. Considerando a aceleração da gravidade igual a
, assinale a opção que corresponde a densidade do corpo.
c)
a)
b)
d)
e)
c)
a)
b)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
-
Dados fornecidos:
- massa do corpo:
- densidade do líquido:
- aceleração da gravidade:
- leitura do dinamômetro (tensão):
- o corpo está completamente submerso no líquido
- massa do corpo:
-
O que se pede:
- determinar a densidade do corpo (vou chamar de
) em função de .
- determinar a densidade do corpo (vou chamar de
Passo 2
Vamos listar as forças que atuam no corpo e escrever a condição de equilíbrio (o corpo está parado, então a soma das forças é zero).
- Peso para baixo:
. - Força de empuxo (para cima), que é a força do líquido sobre o corpo: vou chamar de
. - Força do dinamômetro (tensão) para cima: leitura
.
Como o corpo está em repouso, as forças verticais se equilibram:
Passo 3
Explico o empuxo (essa é a parte da física que costuma confundir, mas é simples): pelo princípio de Arquimedes, o empuxo é igual ao peso do volume de líquido deslocado. Como o corpo está completamente submerso, o volume deslocado é o volume do corpo
. Logo:
onde
é a densidade do líquido,
a gravidade e
o volume do corpo. Aqui cada símbolo significa:
(massa por unidade de volume do líquido),
(aceleração gravitacional) e
(volume do corpo).
Passo 4
Substituímos
na equação de equilíbrio do Passo 2:
Isolando
:
Passo 5
Agora relacionamos a densidade do corpo
com
e
. Definição de densidade:
Queremos
, então vamos eliminar
usando a equação do empuxo.
Passo 6
Da equação
isolamos
:
Substituímos esse
na definição de
:
Passo 7
Fazendo a divisão por fração (multiplicando pelo inverso) e simplificando cuidadosamente:
Expliquei cada passo para você poder refazer sem calculadora: primeiro isolamos
, depois usamos
e por fim simplificamos os fatores
quando apropriado na multiplicação.
Passo 8
Conclusão rápida: a densidade do corpo encontrada é
. Comparando com as alternativas dadas, isso corresponde à letra (a).
Resposta
a)