3-54C Someone claims that she can determine the magnitude of the hydrostatic force acting on a plane surface submerged in water regardless of its shape and orientation if she knew the vertical distance of the centroid of the surface from the free surface and the area of the surface. Is this a valid claim? Explain.

Passo 1

O enunciado pergunta se é válido afirmar que, para uma superfície plana submersa em água, o módulo (a magnitude) da força hidrostática resultante pode ser determinado apenas conhecendo-se a área da superfície e a distância vertical do centróide da superfície até a superfície livre. Dados fornecidos (implícitos no enunciado): a superfície é plana, está totalmente submersa em água (fluido de densidade constante) e sabemos a área A da superfície e a distância vertical do centróide até a superfície livre, que chamaremos de y_c. A pergunta exige uma explicação — ou seja, devemos mostrar se a afirmação é verdadeira e por quê.

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (mini-aula básica e amigável):
  • Pressão hidrostática em um ponto do fluido: a pressão só depende da profundidade vertical desse ponto, e é dada por
p=\rho g h,
onde \rho é a densidade do fluido (para água, \rho\approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3}), g é a aceleração da gravidade e h é a profundidade vertical do ponto medida a partir da superfície livre (ou seja, distância vertical para baixo).
  • Força resultante sobre uma superfície: é a integral da pressão sobre a área da superfície:
F=\iint_{S} p\,\mathrm{d}A.
Aqui S é a superfície plana submersa e \mathrm{d}A é um elemento de área.
Vou explicar bem o que cada símbolo significa e por que essas fórmulas fazem sentido: p é a intensidade da pressão em cada ponto (força por unidade de área). Para achar a força total que o fluido aplica, somamos (integral) a pressão multiplicada por cada pedacinho de área \mathrm{d}A. Como a pressão varia com a profundidade, precisamos integrar \rho g h(x,y) sobre a superfície.

Passo 3

Expressar a força total usando a fórmula de pressão:
F=\iint_{S} \rho g\, h(x,y)\,\mathrm{d}A.
Podemos tirar \rho g em fator comum porque são constantes:
F=\rho g \iint_{S} h(x,y)\,\mathrm{d}A.
Aqui h(x,y) é a profundidade vertical de cada ponto da superfície em relação à superfície livre. O objetivo é simplificar essa integral para ver se ela depende apenas de A e de y_c.

Passo 4

Escolher um referencial vertical conveniente e usar a definição de centróide:
  • Defina o eixo vertical medindo a profundidade a partir da superfície livre para baixo.
  • Seja y_c a profundidade (distância vertical) do centróide da superfície (isto é, y_c é o valor que aparece no enunciado).
  • Em torno do centróide, qualquer ponto da superfície tem profundidade h(x,y)=y_c + z', onde z' é a posição vertical do ponto medida a partir do centróide (pontos abaixo do centróide têm z'>0, acima z'<0). Essa decomposição é só uma troca de origem para separar a média da variação.
Pela definição do centróide de uma área, a primeira momento da área em relação a um plano horizontal que passa pelo centróide é zero. Em termos de integral:
\iint_{S} z'\,\mathrm{d}A = 0.
Isso porque z' é a coordenada vertical relativa ao centróide; a própria definição de centróide é
y_c = \frac{1}{A}\iint_{S} h(x,y)\,\mathrm{d}A,
ou equivalentemente
\iint_{S} (h - y_c)\,\mathrm{d}A = 0 \quad\Rightarrow\quad \iint_{S} z'\,\mathrm{d}A=0.

Passo 5

Voltar à integral da força e substituir h=y_c+z':
F=\rho g \iint_{S} (y_c + z')\,\mathrm{d}A =\rho g\left( \iint_{S} y_c\,\mathrm{d}A + \iint_{S} z'\,\mathrm{d}A \right).
Como y_c é constante sobre a superfície, \iint_{S} y_c\,\mathrm{d}A = y_c \iint_{S} \mathrm{d}A = y_c A. E, como vimos no passo anterior, \iint_{S} z'\,\mathrm{d}A = 0. Portanto:
F=\rho g (y_c A + 0)=\rho g A y_c.

Passo 6

Interpretação do resultado e limites da validade (explicação didática):
  • A expressão final
F=\rho g A y_c
mostra que o módulo da força hidrostática sobre uma superfície plana submersa depende apenas de três coisas: a densidade do fluido \rho, a gravidade g, a área da superfície A e a profundidade vertical do centróide y_c. Se \rho e g são fixos (água no mesmo local), então o produto \rho g é constante, e o que importa são A e y_c.
  • Observação importante (armadilha comum): a distância que entra na fórmula é a distância vertical até a superfície livre, não a distância medida ao longo da normal à superfície. Ou seja, sempre use a profundidade vertical.
  • Outra observação prática: a magnitude realmente independe da forma e da orientação da superfície, desde que a superfície seja plana. Entretanto, a posição de aplicação da força resultante (o centro de pressão) depende da distribuição de pressão e, portanto, da inclinação e da forma; ou seja, a linha de ação da força muda com a forma/orientação — mas o módulo não.
  • Ainda mais: para superfícies curvas a relação F=\rho g A y_c não vale; para curvas devemos integrar usando a projeção vertical ou calcular a força sobre a superfície curva diretamente (só a componente vertical da força sobre uma superfície curva pode ser tratada via projeção da área).

Passo 7

Exemplo rápido e intuitivo para fixar (sem cálculo pesado): imagina duas placas planas de área A com o mesmo centróide vertical a profundidade y_c, uma vertical e outra inclinada. Apesar de a distribuição de pressão ser diferente (na vertical varia muito e na inclinada também), a soma (integral) dá o mesmo resultado final F=\rho g A y_c. Isso é exatamente o que provamos matematicamente acima — o termo de variação relativo ao centróide cancela.

Resposta

Sim. Para uma superfície plana submersa em fluido de densidade constante, o módulo da força hidrostática resultante é
F=\rho g A y_c,
portanto depende apenas da área A e da distância vertical do centróide y_c (e não da forma nem da orientação).

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