3-57C Consider a submerged curved surface. Explain how you would determine the horizontal component of the hydrostatic force acting on this surface.
Passo 1
O enunciado pede que eu explique como determinar a componente horizontal da força hidrostática sobre uma superfície curva submersa. Informações relevantes (implícitas no enunciado): \n
- A superfície é arbitrária (curva) e está totalmente ou parcialmente submersa. \n
- O fluido tem densidade
e aceleração da gravidade . \n - A pressão no fluido varia com a profundidade (pressão hidrostática). \n
- Queremos a componente horizontal do resultado da distribuição de pressão sobre essa superfície. \n
Não há figura específica enviada, então consideramos a superfície genérica e tratamos o procedimento geral.
Passo 2
Conceito-chave: pressão hidrostática. Vou ensinar o que é e como usá-la. \n
A pressão em um ponto do fluido, medida em relação à superfície livre (pressão de calibre), é dada por
A pressão em um ponto do fluido, medida em relação à superfície livre (pressão de calibre), é dada por
onde
é a densidade do fluido,
é a aceleração da gravidade e
é a profundidade vertical desse ponto abaixo da superfície livre. \n
Explicação das variáveis: \n
Explicação das variáveis: \n
-
: massa por unidade de volume do fluido (por ex. ). \n -
: aceleração gravitacional (aprox. ). \n -
: distância vertical do ponto até a superfície livre (sempre medida em m). \n
Esseé a pressão atuando em todas as direções localmente.
Passo 3
Força diferencial sobre um elemento de superfície. Vou decompor a força de pressão num pequeno elemento e extrair a componente horizontal. \n
Considere um elemento infinitesimal de área da superfície curva, de área , cuja normal forma ângulo
com a horizontal. A força diferencial exercida pela pressão sobre esse elemento é
Considere um elemento infinitesimal de área da superfície curva, de área
onde
é o vetor unitário normal à superfície. \n
A componente horizontal (módulo) desse diferencial é
A componente horizontal (módulo) desse diferencial é
Aqui
projeta a área infinitesimal na direção horizontal.
Passo 4
Interpretação geométrica útil: projeção vertical. \n
Defina como a projeção vertical (projeção sobre um plano vertical perpendicular à direção da componente horizontal que estamos calculando) do elemento
. Pela geometria,
Defina
Portanto a expressão para a componente horizontal fica simples:
Isto significa que a componente horizontal da força sobre a superfície curva é igual à força hidrostática atuando sobre a área projetada verticalmente da superfície (como se a superfície curva fosse substituída pela sua projeção vertical).
Passo 5
Expressão integral e uso da pressão hidrostática. \n
Integrando sobre toda a superfície:
Integrando sobre toda a superfície:
Substituindo
,
Aqui a integração é feita sobre a área projetada vertical
, e
é a profundidade de cada ponto da projeção.
Passo 6
Simplificação com o teorema do centroide (aquela “mágica” prática que usamos em prova). \n
A pressão varia linearmente com a profundidade, então a média da pressão sobre a projeção é a pressão no centróide da projeção. Assim podemos escrever
A pressão varia linearmente com a profundidade, então a média da pressão sobre a projeção é a pressão no centróide da projeção. Assim podemos escrever
onde
é a área da projeção vertical e
é a profundidade (distância vertical desde a superfície livre) do centróide dessa projeção. \n
Explicando: \n
Explicando: \n
-
é simplesmente a área da forma que você obtém ao projetar ortogonalmente a superfície curva no plano vertical. \n -
é a coordenada vertical do centróide dessa projeção, calculada pela definição usual do centróide: . \n
Praticamente, na prova: encontre a projeção vertical, calcule sua área e o seu centróide (profundidade média), e multiplique por.
Passo 7
Observação sobre pressão absoluta/atmosférica. \n
Se houver pressão atmosférica atuando na superfície livre, a força total incluiria uma contribuição de
também. Normalmente calculamos a força de calibre (devido ao fluido) usando
(ou seja, subtraímos
porque ela atua em todas as superfícies e não muda a resultante hidrostática interna). Portanto a fórmula prática para provas é a dada no passo anterior (usar pressão de calibre).
Se houver pressão atmosférica
Passo 8
Localização da linha de ação (opcional, mas importante em muitas questões). \n
A posição vertical do ponto de aplicação da componente horizontal (centro de pressão) não coincide em geral com o centróide; fica abaixo dele. A profundidade do centro de pressão sobre a projeção vertical é dada por
A posição vertical do ponto de aplicação da componente horizontal (centro de pressão) não coincide em geral com o centróide; fica abaixo dele. A profundidade do centro de pressão
onde
é o momento de inércia (segunda área) da área projetada em relação a um eixo horizontal que passa pelo centróide da projeção. \n
Explicando as variáveis: \n
Explicando as variáveis: \n
-
tem unidades e para formas comuns você tem fórmulas prontas (retângulo, círculo, etc.). \n - Esse deslocamento adicional vem porque a pressão aumenta com a profundidade, tornando a resultante deslocada para baixo.
Passo 9
Exemplo rápido e concreto (para fixar): projeção vertical retangular. \n
Considere a projeção vertical um retângulo de largura e altura
, com sua face superior a profundidade
e inferior a profundidade
. Então
Considere a projeção vertical um retângulo de largura
e a componente horizontal é
O centro de pressão fica em
Passo 10
Resumo prático — o que você deve fazer passo a passo na prova: \n
- Projetar a superfície curva no plano vertical perpendicular à direção horizontal desejada e obter
. \n - Calcular o centróide da projeção e sua profundidade
. \n - Calcular a força horizontal por
\n - Se precisar da linha de ação, calcular
usando a fórmula do passo 8 com o momento de inércia da projeção.