54P*. A força gravitacional entre duas partículas de massas m e M, inicialmente em repouso e muito distantes uma da outra, faz com que elas se juntem. Mostre que, em qualquer instante, a velocidade relativa de qualquer uma das partículas em relaçảo à outra é [2 G(M+m) / d]^{1 / 2}, onde d é a distância entre elas neste instante. (Sugestäo: Use as leis de conservação da energia e do momento linear.)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Duas partículas com massas m e M atraem-se pela gravidade.
  • Inicialmente elas estão em repouso e muito distantes uma da outra (tomamos a separação inicial como d\to\infty).
  • A atração faz com que elas se aproximem; num instante genérico a distância entre elas é d.
  • Pede-se para mostrar que, em qualquer instante, a velocidade relativa de uma em relação à outra é
\left[\frac{2G(M+m)}{d}\right]^{1/2}.
Informações úteis implícitas que usaremos: energia potencial gravitacional entre as duas massas é -\dfrac{G m M}{d} quando estão separadas por d; as quantidades conservadas são a energia total e o momento linear total.

Passo 2

Conservação do momento linear (quantidade vetorial) — explicando o que isso significa:
  • O momento linear total do sistema é \mathbf{P}= soma dos momentos das partículas.
  • Como não há forças externas atuando (apenas a força mútua interna), \mathbf{P} é constante no tempo.
  • Inicialmente ambas estão em repouso, logo \mathbf{P}_{\text{inicial}}=\mathbf{0}. Portanto para todo tempo
\mathbf{P}=m\mathbf{v}_m+M\mathbf{v}_M=\mathbf{0},
onde \mathbf{v}_m e \mathbf{v}_M são as velocidades vetoriais das partículas de massas m e M, respectivamente.
  • Da equação vetorial obtemos, em módulo e considerando que elas se movem em direções opostas ao se aproximarem,
m v_m = M v_M,
ou de forma equivalente (com sinais),
\mathbf{v}_M = -\frac{m}{M}\,\mathbf{v}_m.

Passo 3

Definição e relação entre velocidade relativa e velocidades individuais:
  • Definimos a velocidade relativa da partícula de massa m em relação a M como
\mathbf{v}_{\text{rel}}=\mathbf{v}_m-\mathbf{v}_M.
  • Usando \mathbf{v}_M = -\dfrac{m}{M}\mathbf{v}_m obtemos
\mathbf{v}_{\text{rel}}=\mathbf{v}_m -\left(-\frac{m}{M}\mathbf{v}_m\right) = \left(1+\frac{m}{M}\right)\mathbf{v}_m = \frac{M+m}{M}\,\mathbf{v}_m.
  • Assim, em módulo,
v_{\text{rel}}=\frac{M+m}{M}\,v_m.
Invertendo para v_m e v_M em função de v_{\text{rel}}:
v_m=\frac{M}{M+m}\,v_{\text{rel}},\qquad v_M=\frac{m}{M+m}\,v_{\text{rel}}.

Passo 4

Energia cinética total escrita em termos da velocidade relativa — introduzindo a massa reduzida:
  • A energia cinética total do sistema é
K=\frac{1}{2}m v_m^2+\frac{1}{2}M v_M^2.
  • Substituindo v_m e v_M em função de v_{\text{rel}}:
K=\frac{1}{2}m\left(\frac{M}{M+m}v_{\text{rel}}\right)^2 +\frac{1}{2}M\left(\frac{m}{M+m}v_{\text{rel}}\right)^2.
  • Desenvolvendo e fatorando v_{\text{rel}}^2:
K=\frac{1}{2}\frac{mM^2 + M m^2}{(M+m)^2}\,v_{\text{rel}}^2 =\frac{1}{2}\frac{mM(M+m)}{(M+m)^2}\,v_{\text{rel}}^2 =\frac{1}{2}\frac{mM}{M+m}\,v_{\text{rel}}^2.
  • Definimos a massa reduzida
\mu=\frac{mM}{M+m},
de modo que a energia cinética total pode ser escrita de forma compacta como
K=\frac{1}{2}\mu\,v_{\text{rel}}^2.
Comentário didático rápido: a massa reduzida \mu é uma forma conveniente de tratar o problema de duas massas que interagem centralmente; o sistema é equivalente, em termos de energia e movimento relativo, a uma partícula fictícia de massa \mu movendo-se com velocidade v_{\text{rel}}.

Passo 5

Energia potencial e conservação da energia — explicando o que usamos:
  • A energia potencial gravitacional entre as duas massas, quando separadas por d, é
U(d)=-\frac{G m M}{d}.
  • Inicialmente (separação muito grande, d\to\infty) as partículas estão em repouso, logo a energia cinética inicial é zero e a energia potencial tende a zero. Assim a energia total inicial é
E_{\text{inicial}}=0.
  • Pela conservação da energia mecânica, a energia total no instante em que a separação é d vale também 0. Ou seja
K+U=0.

Passo 6

Juntar tudo e resolver para v_{\text{rel}}:
  • Substituindo K=\dfrac{1}{2}\mu v_{\text{rel}}^2 e U=-\dfrac{G m M}{d} em K+U=0, obtemos
\frac{1}{2}\mu\,v_{\text{rel}}^2-\frac{G m M}{d}=0.
  • Isolando v_{\text{rel}}^2:
\frac{1}{2}\mu\,v_{\text{rel}}^2=\frac{G m M}{d} \quad\Rightarrow\quad v_{\text{rel}}^2=\frac{2G m M}{\mu\,d}.
  • Substituindo \mu=\dfrac{mM}{M+m} na expressão acima:
v_{\text{rel}}^2=\frac{2G m M}{\dfrac{mM}{M+m}\,d} = \frac{2G m M}{1}\cdot\frac{M+m}{mM}\cdot\frac{1}{d} = \frac{2G(M+m)}{d}.

Passo 7

Extrair a velocidade relativa e comentar:
  • Tomando a raiz positiva (velocidade relativa em módulo),
v_{\text{rel}}=\left(\frac{2G(M+m)}{d}\right)^{1/2}.
  • Interpretação rápida: a expressão mostra que a velocidade relativa depende apenas da soma das massas e da separação atual d; isso decorre da combinação da conservação do momento (que relaciona as velocidades individuais) e da conservação da energia (que relaciona energia cinética total com a energia potencial gravitacional).

Resposta

\left[\dfrac{2G(M+m)}{d}\right]^{1/2}

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