54P*. A força gravitacional entre duas partículas de massas
e
, inicialmente em repouso e muito distantes uma da outra, faz com que elas se juntem. Mostre que, em qualquer instante, a velocidade relativa de qualquer uma das partículas em relaçảo à outra é
, onde d é a distância entre elas neste instante. (Sugestäo: Use as leis de conservação da energia e do momento linear.)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Duas partículas com massas
e atraem-se pela gravidade. - Inicialmente elas estão em repouso e muito distantes uma da outra (tomamos a separação inicial como
). - A atração faz com que elas se aproximem; num instante genérico a distância entre elas é
. - Pede-se para mostrar que, em qualquer instante, a velocidade relativa de uma em relação à outra é
Informações úteis implícitas que usaremos: energia potencial gravitacional entre as duas massas é
quando estão separadas por
; as quantidades conservadas são a energia total e o momento linear total.
Passo 2
Conservação do momento linear (quantidade vetorial) — explicando o que isso significa:
- O momento linear total do sistema é
soma dos momentos das partículas. - Como não há forças externas atuando (apenas a força mútua interna),
é constante no tempo. - Inicialmente ambas estão em repouso, logo
. Portanto para todo tempo
onde
e
são as velocidades vetoriais das partículas de massas
e
, respectivamente.
- Da equação vetorial obtemos, em módulo e considerando que elas se movem em direções opostas ao se aproximarem,
ou de forma equivalente (com sinais),
Passo 3
Definição e relação entre velocidade relativa e velocidades individuais:
- Definimos a velocidade relativa da partícula de massa
em relação a como
- Usando
obtemos
- Assim, em módulo,
Invertendo para
e
em função de
:
Passo 4
Energia cinética total escrita em termos da velocidade relativa — introduzindo a massa reduzida:
- A energia cinética total do sistema é
- Substituindo
e em função de :
- Desenvolvendo e fatorando
:
- Definimos a massa reduzida
de modo que a energia cinética total pode ser escrita de forma compacta como
Comentário didático rápido: a massa reduzida
é uma forma conveniente de tratar o problema de duas massas que interagem centralmente; o sistema é equivalente, em termos de energia e movimento relativo, a uma partícula fictícia de massa
movendo-se com velocidade
.
Passo 5
Energia potencial e conservação da energia — explicando o que usamos:
- A energia potencial gravitacional entre as duas massas, quando separadas por
, é
- Inicialmente (separação muito grande,
) as partículas estão em repouso, logo a energia cinética inicial é zero e a energia potencial tende a zero. Assim a energia total inicial é
- Pela conservação da energia mecânica, a energia total no instante em que a separação é
vale também . Ou seja
Passo 6
Juntar tudo e resolver para
:
- Substituindo
e em , obtemos
- Isolando
:
- Substituindo
na expressão acima:
Passo 7
Extrair a velocidade relativa e comentar:
- Tomando a raiz positiva (velocidade relativa em módulo),
- Interpretação rápida: a expressão mostra que a velocidade relativa depende apenas da soma das massas e da separação atual
; isso decorre da combinação da conservação do momento (que relaciona as velocidades individuais) e da conservação da energia (que relaciona energia cinética total com a energia potencial gravitacional).