Uma nave espacial está passeando pela borda da nossa galáxia, a 80.000 anos-luz do seu centro. Qual a velocidade de escape da nave do campo gravitacional da galáxia? A massa da nossa galáxia é 1,4 \times 10^{11} vezes a do Sol. Simplificando, suponha que a matéria que forma a galáxia está distribuida de modo uniforme num volume esférico.

Passo 1

O enunciado pede: qual é a velocidade de escape da nave do campo gravitacional da galáxia, supondo que a massa da galáxia é 1,4\times10^{11} vezes a massa do Sol e que a massa está uniformemente distribuída num volume esférico. As informações dadas são:
  • Raio (distância da nave ao centro) R = 80{,}000 anos-luz.
  • Massa da galáxia M = 1{,}4\times10^{11}\,M_\odot.
  • Valor da massa do Sol usado: M_\odot = 1{,}989\times10^{30}\\ \text{kg} (valor padrão).
  • Constante gravitacional usada: G = 6{,}67430\times10^{-11}\\ \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2} (valor padrão).
    A pergunta final é: calcular a velocidade de escape v_{\text{esc}} numérica e dar o resultado em unidades práticas (m/s e km/s).

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (a “aula curta”):
  • Velocidade de escape é a velocidade mínima que um objeto precisa ter para, sem propulsão adicional, ir ao infinito levando sua energia cinética inicial a zero, vencendo a atração gravitacional. Usa-se conservação de energia: a energia cinética inicial tem que ser igual (em módulo) à energia potencial gravitacional de ligação.
  • Energia cinética de uma massa m: \tfrac{1}{2} m v^2.
  • Energia potencial gravitacional entre massas M (galáxia) e m (nave), a uma distância R: -\dfrac{G M m}{R} (sinal negativo indica ligação).
  • Igualando energia cinética inicial ao módulo da energia potencial (para que a energia total inicial seja zero, limite para escapar):
\tfrac{1}{2} m v_{\text{esc}}^2 = \frac{G M m}{R}.
  • Cancelando m e isolando v_{\text{esc}} obtemos a fórmula clássica:
v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}.
Explicando as variáveis:
  • v_{\text{esc}} é a velocidade de escape (m/s).
  • G é a constante gravitacional.
  • M é a massa total que gera o potencial (kg).
  • R é a distância do centro até a posição de partida (m).

Passo 3

Converter todas as quantidades para o sistema internacional (SI), com passos claros.
  1. Converter a massa da galáxia:
M = 1{,}4\times10^{11}\,M_\odot \qquad\text{com}\qquad M_\odot = 1{,}989\times10^{30}\\ \text{kg}.
Logo
M = 1{,}4\times10^{11}\times 1{,}989\times10^{30}\\ \text{kg}.
Multiplicando os fatores numéricos:
1{,}4\times 1{,}989 = 2{,}7846,
e somando expoentes:
M = 2{,}7846\times10^{41}\\ \text{kg}.
  1. Converter o raio R de anos-luz para metros. Valor padrão:
1\\ \text{ano-luz} = 9{,}4607\times10^{15}\\ \text{m}.
Então
R = 80{,}000\\ \text{a.l.} = 8{,}0\times10^{4}\times 9{,}4607\times10^{15}\\ \text{m}.
Multiplicando os fatores:
8{,}0\times 9{,}4607 = 75{,}6856,
e somando expoentes:
R = 75{,}6856\times10^{19}\\ \text{m} = 7{,}56856\times10^{20}\\ \text{m}.

Passo 4

Substituir na fórmula de v_{\text{esc}} e organizar a conta antes de tirar raiz:
v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}.
Primeiro calcule o numerador 2GM:
2GM = 2 \times (6{,}67430\times10^{-11}) \times (2{,}7846\times10^{41}).
Multiplicando os coeficientes:
2\times 6{,}67430 \times 2{,}7846 \approx 37{,}17018
e somando expoentes:
-11 + 41 = 30.
Logo
2GM \approx 3{,}717018\times10^{31}\\ \text{m}^3\text{s}^{-2}.
Agora dividir por R:
\frac{2GM}{R} \approx \frac{3{,}717018\times10^{31}}{7{,}56856\times10^{20}}.
Dividindo coeficientes e subtraindo expoentes:
\frac{3{,}717018}{7{,}56856}\approx 0{,}4911, \qquad 10^{31-20}=10^{11}.
Portanto
\frac{2GM}{R}\approx 0{,}4911\times10^{11} = 4{,}911\times10^{10}\\ \text{m}^2\text{s}^{-2}.

Passo 5

Tirar raiz quadrada para obter v_{\text{esc}}:
v_{\text{esc}} = \sqrt{4{,}911\times10^{10}}\\ \text{m/s}.
Separando a raiz:
v_{\text{esc}} = \sqrt{4{,}911}\times\sqrt{10^{10}} \approx 2{,}216\times10^{5}\\ \text{m/s}.
Converter para km/s (dividindo por 1000):
v_{\text{esc}} \approx 2{,}216\times10^{2}\\ \text{km/s} \approx 222\\ \text{km/s}.

Passo 6

Interpretação curta e verificação de ordem de grandeza (motivacional): o valor encontrado, cerca de 2{,}2\times10^{5}\\ \text{m/s} (ou 222\\ \text{km/s}), está na mesma ordem de grandeza da velocidade orbital típica de estrelas na nossa galáxia (vários centenas de km/s). Como simplificamos assumindo massa uniformemente distribuída numa esfera e usando a massa total fornecida, esse valor é uma boa estimativa grosseira da velocidade de escape a partir da “borda” definida no enunciado.

Resposta

v_{\text{esc}} \approx 2{,}22\times10^{5}\\ \text{m/s} \approx 222\\ \text{km/s}

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