Uma nave espacial está passeando pela borda da nossa galáxia, a 80.000 anos-luz do seu centro. Qual a velocidade de escape da nave do campo gravitacional da galáxia? A massa da nossa galáxia é
vezes a do Sol. Simplificando, suponha que a matéria que forma a galáxia está distribuida de modo uniforme num volume esférico.
Passo 1
O enunciado pede: qual é a velocidade de escape da nave do campo gravitacional da galáxia, supondo que a massa da galáxia é
vezes a massa do Sol e que a massa está uniformemente distribuída num volume esférico. As informações dadas são:
- Raio (distância da nave ao centro)
anos-luz. - Massa da galáxia
. - Valor da massa do Sol usado:
(valor padrão). - Constante gravitacional usada:
(valor padrão).
A pergunta final é: calcular a velocidade de escapenumérica e dar o resultado em unidades práticas (m/s e km/s).
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (a “aula curta”):
- Velocidade de escape é a velocidade mínima que um objeto precisa ter para, sem propulsão adicional, ir ao infinito levando sua energia cinética inicial a zero, vencendo a atração gravitacional. Usa-se conservação de energia: a energia cinética inicial tem que ser igual (em módulo) à energia potencial gravitacional de ligação.
- Energia cinética de uma massa
: . - Energia potencial gravitacional entre massas
(galáxia) e (nave), a uma distância : (sinal negativo indica ligação). - Igualando energia cinética inicial ao módulo da energia potencial (para que a energia total inicial seja zero, limite para escapar):
- Cancelando
e isolando obtemos a fórmula clássica:
Explicando as variáveis:
-
é a velocidade de escape (m/s). -
é a constante gravitacional. -
é a massa total que gera o potencial (kg). -
é a distância do centro até a posição de partida (m).
Passo 3
Converter todas as quantidades para o sistema internacional (SI), com passos claros.
- Converter a massa da galáxia:
Logo
Multiplicando os fatores numéricos:
e somando expoentes:
- Converter o raio
de anos-luz para metros. Valor padrão:
Então
Multiplicando os fatores:
e somando expoentes:
Passo 4
Substituir na fórmula de
e organizar a conta antes de tirar raiz:
Primeiro calcule o numerador
:
Multiplicando os coeficientes:
e somando expoentes:
Logo
Agora dividir por
:
Dividindo coeficientes e subtraindo expoentes:
Portanto
Passo 5
Tirar raiz quadrada para obter
:
Separando a raiz:
Converter para km/s (dividindo por
):
Passo 6
Interpretação curta e verificação de ordem de grandeza (motivacional): o valor encontrado, cerca de
(ou
), está na mesma ordem de grandeza da velocidade orbital típica de estrelas na nossa galáxia (vários centenas de km/s). Como simplificamos assumindo massa uniformemente distribuída numa esfera e usando a massa total fornecida, esse valor é uma boa estimativa grosseira da velocidade de escape a partir da “borda” definida no enunciado.