55 Dado um baralho completo com 52 cartas, de quantas formas podemos escolher 6 cartas de modo que entre elas haja pelo menos 1 carta de cada naipe?

Passo 1

O enunciado pede o número de mãos de 6 cartas extraídas de um baralho de 52 cartas de forma que todos os 4 naipes apareçam pelo menos uma vez. Este é um problema de contagem usando combinatória e o princípio da inclusão–exclusão para garantir que não falte nenhum naipe.

Passo 2

Primeiro, o total de maneiras de escolher 6 cartas de 52, sem restrição, é
\binom{52}{6}.

Passo 3

Agora, para aplicar o princípio da inclusão–exclusão, definimos A_i como o conjunto de mãos que não contêm cartas do naipe i.
  • Se faltar exatamente 1 naipe, há \binom{52-13}{6}=\binom{39}{6} mãos.
  • Se faltarem exatamente 2 naipes, há \binom{52-2\cdot13}{6}=\binom{26}{6} mãos.
  • Se faltarem exatamente 3 naipes, há \binom{52-3\cdot13}{6}=\binom{13}{6} mãos.
  • Faltar todos os 4 naipes é impossível para 6 cartas, pois sobrariam 0 cartas.

Passo 4

Pelo princípio da inclusão–exclusão, o número de mãos que incluem os 4 naipes é
\binom{52}{6} - \binom{4}{1}\binom{39}{6} + \binom{4}{2}\binom{26}{6} - \binom{4}{3}\binom{13}{6}.

Resposta

\binom{52}{6} -4\binom{39}{6} +6\binom{26}{6} -4\binom{13}{6}.

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