57 De quantos modos podemos permutar as letras da palavra CARAVANA de forma que não existam 2 A’s vizinhos?

Passo 1

Na palavra CARAVANA temos 8 letras, das quais 4 são iguais a A e as outras 4 são C, R, V e N. Queremos contar as permutações dessas 8 letras sem que duas letras A fiquem vizinhas. Vamos usar o método dos vãos (gaps): primeiro permutamos as letras não- A e depois inserimos as quatro A em vãos que garantam que elas não se toquem.

Passo 2

Permutamos as 4 letras distintas C, R, V, N. O número de permutações é
4! = 24.

Passo 3

Ao arranjar essas 4 letras em uma sequência, formam-se 5 vãos ao seu redor:
\_ \; X_1 \; \_ \; X_2 \; \_ \; X_3 \; \_ \; X_4 \; \_,
onde cada X_i é uma das letras não- A. Para que nenhuma das 4 letras A fique vizinha, colocamos exatamente uma A em cada váo e escolhemos 4 dos 5 vãos. Como as A são idênticas, o número de maneiras de escolher os vãos é
\binom{5}{4} = 5.

Passo 4

Pelo princípio multiplicativo, o total de permutações sem A adjacentes é
24 \times 5 = 120.

Resposta

120

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