57 De quantos modos podemos permutar as letras da palavra CARAVANA de forma que não existam 2 A’s vizinhos?
Passo 1
Na palavra CARAVANA temos
letras, das quais
são iguais a
e as outras
são
,
,
e
. Queremos contar as permutações dessas
letras sem que duas letras
fiquem vizinhas. Vamos usar o método dos vãos (gaps): primeiro permutamos as letras não-
e depois inserimos as quatro
em vãos que garantam que elas não se toquem.
Passo 2
Permutamos as
letras distintas
,
,
,
. O número de permutações é
Passo 3
Ao arranjar essas
letras em uma sequência, formam-se
vãos ao seu redor:
onde cada
é uma das letras não-
. Para que nenhuma das
letras
fique vizinha, colocamos exatamente uma
em cada váo e escolhemos
dos
vãos. Como as
são idênticas, o número de maneiras de escolher os vãos é
Passo 4
Pelo princípio multiplicativo, o total de permutações sem
adjacentes é