3.55 Resolva.
(b)
x+2 y-z+3 t & =3 2 x+4 y+4 z+3 t & =9 3 x+6 y-z+8 t & =10

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
x + 2y - z + 3t = 3, 2x + 4y + 4z + 3t = 9, 3x + 6y - z + 8t = 10,
que trata de encontrar todos os quádruplos (x,y,z,t)inR^4 que satisfazem essas três equações. Vamos usar eliminação de Gauss para chegar à forma escalonada, identificar variáveis livres e, em seguida, escrever a solução em forma paramétrica.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e eliminamos a variável das segunda e terceira linhas usando combinações lineares com a primeira linha:

Passo 3

Observe que a terceira linha é proporcional à segunda: 2z - t = 1 (da terceira linha) e 6z -3t=3 (segunda linha) são a mesma equação multiplicada por 3. Logo há apenas duas equações independentes:
x + 2y - z + 3t = 3, 2z - t = 1

Passo 4

Dessas duas equações, escolhemos y e t como variáveis livres (parâmetros). Da segunda equação isolamos z:
2z - t = 1 Longrightarrow z = 1+t2
Na primeira equação isolamos x:
x = 3 - 2y + z - 3t = 3 - 2y + 1+t2 - 3t = 72 - 2y - 52,t

Passo 5

Portanto a solução geral, usando parâmetros
com (\lambda,\mu\in\mathbb{R}]. Em forma vetorial:

]

Resposta

(x,y,z,t) = l(tfrac72,0,tfrac12,0r) + lambda,(-2,1,0,0) + mu,l(-tfrac52,0,tfrac12,1r), lambda,muinR

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