(b) Se for possível, dê uma relação entre estas matrizes de mudança de base.
Passo 1
O enunciado dá três bases ordenadas em (cada uma com dois vetores): , , .
Precisamos encontrar as matrizes de mudança de base , ,
e o produto que dá a composição, além de relacioná-las.
Passo 2
Para tomamos os vetores de , e , e os expressamos na base .
Para resolvemos
daí e . Logo as coordenadas de em são .
Para resolvemos
daí e . Logo fica .
Portanto,
Passo 3
Para [I]beta2^beta3 tomamos u1=(-1,0) e u2=(1,1) e os expressamos na base beta3=w1=(-1,-1),,w2=(0,-1).
Para u1:
a,w1+b,w2=(-1,0) implies(-a,, -a-b)=(-1,0),
daí -a=-1Rightarrow a=1 e -1-b=0Rightarrow b=-1. Coordenadas (1,-1).
Para u2:
a,w1+b,w2=(1,1) implies(-a,, -a-b)=(1,1),
daí -a=1Rightarrow a=-1 e -(-1)-b=1Rightarrow 1-b=1Rightarrow b=0. Coordenadas (-1,0).
Logo
[I]beta2^beta3 = 1 & -1 -1 & 0
Passo 4
Para [I]beta1^beta3 expressamos v1=(1,0) e v2=(0,2) diretamente em beta3=w1,w2.
Para v1:
a,w1+b,w2=(1,0) implies(-a,, -a-b)=(1,0)
dá a=-1, b=1.
Para v2:
a,w1+b,w2=(0,2) implies(-a,, -a-b)=(0,2)
dá a=0, b=-2.
Assim
[I]beta1^beta3 = -1 & 0 1 & -2
Passo 5
Agora compomos mudança de base de beta1tobeta2 e de beta2tobeta3 multiplicando