Sejam beta1=(1,0),(0,2), beta2=(-1,0),(1,1), beta3=(-1,-1),(0,-1) , três bases ordenadas de R^3 .
(a) Ache:
(a1) I{\beta{1}}^{\beta_{2}}.
(a2) I{\beta{2}}^{\beta_{3}}.
(a3) I{\beta{1}}^{\beta_{3}}.
(a4) I{\beta{1}}{\beta_{2}}[I]_{\beta_{2}}{\beta_{3}}.
(b) Se for possível, dê uma relação entre estas matrizes de mudança de base.

Passo 1

O enunciado dá três bases ordenadas em R^2 (cada uma com dois vetores):
beta1=(1,0),(0,2),
beta2=(-1,0),(1,1),
beta3=(-1,-1),(0,-1).
Precisamos encontrar as matrizes de mudança de base
[I]beta1^beta2, [I]beta2^beta3, [I]beta1^beta3
e o produto que dá a composição, além de relacioná-las.

Passo 2

Para [I]beta1^beta2 tomamos os vetores de beta1, v1=(1,0) e v2=(0,2), e os expressamos na base beta2=u1=(-1,0),,u2=(1,1).
Para v1 resolvemos
a,u1+b,u2=(1,0) implies(-a+b,,b)=(1,0),
daí b=0 e -a=1Rightarrow a=-1. Logo as coordenadas de v1 em beta2 são (-1,0).
Para v2 resolvemos
a,u1+b,u2=(0,2) implies(-a+b,,b)=(0,2),
daí b=2 e -a+2=0Rightarrow a=2. Logo v2 fica (2,2).
Portanto,
[I]beta1^beta2 = -1 & 2 0 & 2

Passo 3

Para [I]beta2^beta3 tomamos u1=(-1,0) e u2=(1,1) e os expressamos na base beta3=w1=(-1,-1),,w2=(0,-1).
Para u1:
a,w1+b,w2=(-1,0) implies(-a,, -a-b)=(-1,0),
daí -a=-1Rightarrow a=1 e -1-b=0Rightarrow b=-1. Coordenadas (1,-1).
Para u2:
a,w1+b,w2=(1,1) implies(-a,, -a-b)=(1,1),
daí -a=1Rightarrow a=-1 e -(-1)-b=1Rightarrow 1-b=1Rightarrow b=0. Coordenadas (-1,0).
Logo
[I]beta2^beta3 = 1 & -1 -1 & 0

Passo 4

Para [I]beta1^beta3 expressamos v1=(1,0) e v2=(0,2) diretamente em beta3=w1,w2.
Para v1:
a,w1+b,w2=(1,0) implies(-a,, -a-b)=(1,0)
a=-1, b=1.
Para v2:
a,w1+b,w2=(0,2) implies(-a,, -a-b)=(0,2)
a=0, b=-2.
Assim
[I]beta1^beta3 = -1 & 0 1 & -2

Passo 5

Agora compomos mudança de base de beta1tobeta2 e de beta2tobeta3 multiplicando
[I]beta2^beta3,[I]beta1^beta2 = 1 & -1 -1 & 0 -1 & 2 0 & 2 = -1 & 0 1 & -2 ,
que coincide com [I]beta1^beta3.

Passo 6

A relação fundamental de mudança de base é
[I]beta1^beta3 = [I]beta2^beta3 ,[I]beta1^beta2

Resposta

(a1) [I]beta1^beta2 =-1 & 20 & 2
(a2) [I]beta2^beta3 =1 & -1-1 & 0
(a3) [I]beta1^beta3 =-1 & 01 & -2
(a4) [I]beta2^beta3,[I]beta1^beta2 =-1 & 01 & -2
(b) [I]beta1^beta3 =[I]beta2^beta3,[I]beta1^beta2

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