Use a regra de Cramer para resolver x^prime e y^prime em termos de x e y :
l x=x^prime cos theta-y^prime sin theta y=x^prime sin theta+y^prime cos theta

Passo 1

O enunciado pede para inverter o sistema
x = x' costheta - y' sintheta, y = x' sintheta + y' costheta
usando a regra de Cramer. Aqui o conteúdo é resolver um sistema linear 2times2 pela fórmula que diz que cada incógnita é o quociente de dois determinantes.

Passo 2

Identificamos a matriz dos coeficientes
A = costheta & -sintheta sintheta & costheta
e calculamos o determinante de A:
det A = costheta & -sintheta sintheta & costheta = cos^2!theta + sin^2!theta = 1

Passo 3

Para achar x' pela regra de Cramer, substituímos a primeira coluna de A pelo vetor l(x,yr)^T, obtendo
Ax' = x & -sintheta y & costheta ,
então
det Ax' = xcostheta - (-sintheta),y = xcostheta + ysintheta
Logo
x' = det Ax'det A = xcostheta + ysintheta

Passo 4

Para achar y', substituímos a segunda coluna de A pelo vetor l(x,yr)^T, dando
Ay' = costheta & x sintheta & y ,
logo
det Ay' = costheta;y - x,sintheta = ycostheta - xsintheta
Como det A=1, fica
y' = det Ay'det A = -,xsintheta + ycostheta

Resposta

x' = xcostheta + ysintheta, y' = -,xsintheta + ycostheta

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