7-55 A superfície superior de uma placa metálica está sendo resfriada por um escoamento paralelo de ar, enquanto sua superfície inferior é submetida a um fluxo de calor uniforme de 810 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. O ar possui uma velocidade de corrente livre e temperatura de 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e 15^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. Determine a temperatura da superfície da placa em \mathrm{x}=1,5 \mathrm{~m} a partir da borda de ataque.
Dica: A temperatura da superfície deve ser encontrada de forma iterativa. Inicie o processo de iteração com um palpite inicial de 45^{\circ} \mathrm{C} para a temperatura da superfície.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado (peguei estes dados do enunciado e da imagem):
  • O objetivo: determinar a temperatura da superfície superior da placa em x=1{,}5\\ \mathrm{m} a partir da borda de ataque.
  • Dados:
    • Fluxo de calor uniforme que entra na face inferior da placa: \dot{q}'' = 810\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 (peguei da imagem/enunciado).
    • Velocidade do ar na corrente livre: V_\infty = 2{,}5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} (peguei da imagem/enunciado).
    • Temperatura do ar na corrente livre: T_\infty = 15^\circ\mathrm{C} (peguei da imagem/enunciado).
    • Posição onde se quer a temperatura da superfície: x = 1{,}5\\ \mathrm{m} (dado do enunciado).
  • Palpite inicial obrigatório para a iteração: temperatura da superfície inicial T_s^{(0)} = 45^\circ\mathrm{C}.
  • Observação do que vamos achar: a temperatura da superfície T_s tal que o calor fornecido por \dot{q}'' seja removido pela convecção do ar sobre a superfície superior, ou seja, \dot{q}'' = h\,(T_s - T_\infty), onde h depende das propriedades do ar avaliadas à temperatura de filme e do número de Reynolds local em x.

Passo 2

Plano de resolução (sem calcular ainda): vamos montar uma equação de balanço de energia por unidade de área na superfície:
\dot{q}'' = h\,(T_s - T_\infty).
Reescrevendo,
T_s = T_\infty + \frac{\dot{q}''}{h}.
O coeficiente convectivo local h em um ponto x de uma placa plana, fluxo externo laminar, avaliado com propriedades do ar no filme, é obtido a partir do número de Nusselt local
\mathrm{Nu}_x = 0{,}332\,\mathrm{Re}_x^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3},
onde
\mathrm{Re}_x = \frac{V_\infty x}{\nu},\qquad \mathrm{Pr} \approx 0{,}71
e
h = \frac{\mathrm{Nu}_x\,k}{x}.
Aqui:
  • \nu é a viscosidade cinemática do ar no filme (m^2/s),
  • k é a condutividade térmica do ar no filme (W/m·K),
  • filme significa T_f = (T_s + T_\infty)/2.
Como h depende de T_s (via propriedades do ar no filme), vamos iterar: iniciar com T_s^{(0)}=45^\circ\mathrm{C}, calcular T_f, propriedades do ar em T_f (usando a Lei de Sutherland para \mu e \rho do gás perfeito, e k obtido por k=\mu c_p/\mathrm{Pr}), calcular \mathrm{Re}_x,\mathrm{Nu}_x,h, obter T_s^{(1)} por \;T_\infty + \dot{q}''/h, e repetir até convergência (diferença pequena entre iterações). Vou usar constantes padrão:
  • pressão atmosférica p=101325\\ \mathrm{Pa},
  • constante dos gases R=287\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K},
  • c_p = 1005\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K},
  • \mathrm{Pr}=0{,}71,
  • Lei de Sutherland para viscosidade dinâmica \mu:
\mu = \mu_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}\frac{T_0+S}{T+S},
com \mu_0 = 1{,}716\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} em T_0=273{,}15\\ \mathrm{K} e S=110{,}4\\ \mathrm{K}.
  • densidade do ar \rho = p/(R T).
  • \nu=\mu/\rho e k=\mu c_p/\mathrm{Pr}.
Agora vamos calcular iterativamente, mostrando todos os passos e contas.

Passo 3

Iteração 0 -> Iteração 1 (palpite inicial).
Palpite inicial:
T_s^{(0)}=45^\circ\mathrm{C}.
Temperatura de filme:
T_f^{(0)}=\frac{T_s^{(0)}+T_\infty}{2}=\frac{45+15}{2}=30^\circ\mathrm{C}=303{,}15\\ \mathrm{K}.
Usando Sutherland:
\mu = 1{,}716\times10^{-5}\left(\frac{303{,}15}{273{,}15}\right)^{3/2}\frac{273{,}15+110{,}4}{303{,}15+110{,}4}.
Cálculo numérico:
  • \left(\dfrac{303{,}15}{273{,}15}\right)^{3/2}\approx 1{,}1694.
  • \dfrac{273{,}15+110{,}4}{303{,}15+110{,}4}=\dfrac{383{,}55}{413{,}55}\approx 0{,}9275.
  • \mu \approx 1{,}716\times10^{-5}\times1{,}1694\times0{,}9275 \approx 1{,}860\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Densidade:
\rho=\frac{p}{R T_f}=\frac{101325}{287\cdot303{,}15}\approx 1{,}1646\\ \mathrm{kg/m^3}.
Viscosidade cinemática:
\nu=\frac{\mu}{\rho}\approx\frac{1{,}860\times10^{-5}}{1{,}1646}\approx 1{,}597\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
Condutividade térmica (aproximação k=\mu c_p/\mathrm{Pr}):
k=\frac{\mu c_p}{\mathrm{Pr}}\approx\frac{1{,}860\times10^{-5}\times1005}{0{,}71}\approx 0{,}02635\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Número de Reynolds local em x=1{,}5\\ \mathrm{m}:
\mathrm{Re}_x=\frac{V_\infty x}{\nu}=\frac{2{,}5\times1{,}5}{1{,}597\times10^{-5}}\approx 2{,}3476\times10^{5}.
Nusselt local (laminar):
\mathrm{Nu}_x=0{,}332\,\mathrm{Re}_x^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}.
Cálculo:
  • \mathrm{Re}_x^{1/2}\approx 484{,}6.
  • \mathrm{Pr}^{1/3}\approx 0{,}71^{1/3}\approx 0{,}892.
  • \mathrm{Nu}_x\approx 0{,}332\times484{,}6\times0{,}892\approx 143{,}7.
Coeficiente convectivo:
h=\frac{\mathrm{Nu}_x\,k}{x}=\frac{143{,}7\times0{,}02635}{1{,}5}\approx 2{,}523\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Nova estimativa da temperatura da superfície:
T_s^{(1)}=T_\infty+\frac{\dot{q}''}{h}=15+\frac{810}{2{,}523}\approx 15 + 321{,}1 \approx 336{,}1^\circ\mathrm{C}.
Comentário: o novo valor salta para uma temperatura muito maior que o palpite inicial; isso ocorre porque o coeficiente convectivo local ficou pequeno (placa longa em escoamento laminar) e, para remover 810\\ \mathrm{W/m^2}, a superfície precisa aquecer bastante.

Passo 4

Iteração 1 -> Iteração 2
Agora usamos T_s^{(1)}\approx 336{,}1^\circ\mathrm{C}.
Temperatura de filme:
T_f^{(1)}=\frac{336{,}1+15}{2}=175{,}55^\circ\mathrm{C}=448{,}70\\ \mathrm{K}.
Repetimos cálculo das propriedades em T_f^{(1)}.
Sutherland:
\mu \approx 1{,}716\times10^{-5}\left(\frac{448{,}70}{273{,}15}\right)^{3/2}\frac{383{,}55}{448{,}70+110{,}4}.
Cálculo numérico (resumido):
  • \mu \approx 2{,}48\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Densidade:
\rho=\frac{101325}{287\cdot448{,}70}\approx 0{,}7877\\ \mathrm{kg/m^3}.
Viscosidade cinemática:
\nu=\frac{2{,}48\times10^{-5}}{0{,}7877}\approx 3{,}147\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
Condutividade:
k\approx\frac{2{,}48\times10^{-5}\times1005}{0{,}71}\approx 0{,}03511\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Reynolds local:
\mathrm{Re}_x=\frac{2{,}5\times1{,}5}{3{,}147\times10^{-5}}\approx 1{,}1914\times10^{5}.
Nusselt local:
\mathrm{Nu}_x\approx 0{,}332\times(1{,}1914\times10^{5})^{1/2}\times0{,}892\approx 102{,}0.
Coeficiente convectivo:
h=\frac{102{,}0\times0{,}03511}{1{,}5}\approx 2{,}3879\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Nova estimativa de T_s:
T_s^{(2)}=15+\frac{810}{2{,}3879}\approx 15 + 339{,}3 \approx 354{,}3^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Iteração 2 -> Iteração 3
Use T_s^{(2)}\approx 354{,}3^\circ\mathrm{C}.
Temperatura de filme:
T_f^{(2)}=\frac{354{,}3+15}{2}=184{,}65^\circ\mathrm{C}=457{,}8\\ \mathrm{K}.
Repetindo cálculos (resumidos):
  • \mu\approx 2{,}52\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • \rho\approx 0{,}7687\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • \nu\approx 3{,}274\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • k\approx 0{,}03561\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • \mathrm{Re}_x\approx 1{,}14498\times10^{5}.
  • \mathrm{Nu}_x\approx 100{,}2.
  • h\approx \dfrac{100{,}2\times0{,}03561}{1{,}5}\approx 2{,}377\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Nova estimativa:
T_s^{(3)}=15+\frac{810}{2{,}377}\approx 15 + 340{,}8 \approx 355{,}8^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Iteração 3 -> Iteração 4 (verificando convergência)
Use T_s^{(3)}\approx 355{,}8^\circ\mathrm{C}.
Temperatura de filme:
T_f^{(3)}=\frac{355{,}8+15}{2}=185{,}4^\circ\mathrm{C}=458{,}4\\ \mathrm{K}.
Repetindo (resumido):
  • \mu\approx 2{,}519\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • \rho\approx 0{,}7676\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • \nu\approx 3{,}282\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • k\approx 0{,}03566\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • \mathrm{Re}_x\approx 1{,}1423\times10^{5}.
  • \mathrm{Nu}_x\approx 99{,}9.
  • h\approx \dfrac{99{,}9\times0{,}03566}{1{,}5}\approx 2{,}374\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Nova estimativa:
T_s^{(4)}=15+\frac{810}{2{,}374}\approx 15 + 341{,}2 \approx 356{,}2^\circ\mathrm{C}.
Diferença entre T_s^{(4)} e T_s^{(3)} é cerca de 0{,}4^\circ\mathrm{C}. Mais uma iteração daria mudança ainda menor (convergência atingida dentro de \approx 0{,}5^\circ\mathrm{C}).

Passo 7

Conclusão numérica: a iteração está convergindo para um valor da ordem de 356^\circ\mathrm{C}. Podemos apresentar o valor final arredondado com a precisão compatível com os dados e aproximações usadas (Sutherland, c_p constante, \mathrm{Pr} constante, etc.).

Resposta

T_s \approx 356{,}2^\circ\mathrm{C}

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