7-55 A superfície superior de uma placa metálica está sendo resfriada por um escoamento paralelo de ar, enquanto sua superfície inferior é submetida a um fluxo de calor uniforme de
. O ar possui uma velocidade de corrente livre e temperatura de
e
, respectivamente. Determine a temperatura da superfície da placa em
a partir da borda de ataque.
Dica: A temperatura da superfície deve ser encontrada de forma iterativa. Inicie o processo de iteração com um palpite inicial de
para a temperatura da superfície.
Dica: A temperatura da superfície deve ser encontrada de forma iterativa. Inicie o processo de iteração com um palpite inicial de
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado (peguei estes dados do enunciado e da imagem):
- O objetivo: determinar a temperatura da superfície superior da placa em
a partir da borda de ataque. - Dados:
- Fluxo de calor uniforme que entra na face inferior da placa:
(peguei da imagem/enunciado). - Velocidade do ar na corrente livre:
(peguei da imagem/enunciado). - Temperatura do ar na corrente livre:
(peguei da imagem/enunciado). - Posição onde se quer a temperatura da superfície:
(dado do enunciado).
- Fluxo de calor uniforme que entra na face inferior da placa:
- Palpite inicial obrigatório para a iteração: temperatura da superfície inicial
. - Observação do que vamos achar: a temperatura da superfície
tal que o calor fornecido por seja removido pela convecção do ar sobre a superfície superior, ou seja, , onde depende das propriedades do ar avaliadas à temperatura de filme e do número de Reynolds local em .
Passo 2
Plano de resolução (sem calcular ainda): vamos montar uma equação de balanço de energia por unidade de área na superfície:
Reescrevendo,
O coeficiente convectivo local
em um ponto
de uma placa plana, fluxo externo laminar, avaliado com propriedades do ar no filme, é obtido a partir do número de Nusselt local
onde
e
Aqui:
-
é a viscosidade cinemática do ar no filme (m^2/s), -
é a condutividade térmica do ar no filme (W/m·K), - filme significa
.
Como
depende de
(via propriedades do ar no filme), vamos iterar: iniciar com
, calcular
, propriedades do ar em
(usando a Lei de Sutherland para
e
do gás perfeito, e
obtido por
), calcular
, obter
por
, e repetir até convergência (diferença pequena entre iterações). Vou usar constantes padrão:
- pressão atmosférica
, - constante dos gases
, -
, -
, - Lei de Sutherland para viscosidade dinâmica
:
com
em
e
.
- densidade do ar
. -
e .
Agora vamos calcular iterativamente, mostrando todos os passos e contas.
Passo 3
Iteração 0 -> Iteração 1 (palpite inicial).
Palpite inicial:
Temperatura de filme:
Usando Sutherland:
Cálculo numérico:
-
. -
. -
Densidade:
Viscosidade cinemática:
Condutividade térmica (aproximação
):
Número de Reynolds local em
:
Nusselt local (laminar):
Cálculo:
-
. -
. -
Coeficiente convectivo:
Nova estimativa da temperatura da superfície:
Comentário: o novo valor salta para uma temperatura muito maior que o palpite inicial; isso ocorre porque o coeficiente convectivo local ficou pequeno (placa longa em escoamento laminar) e, para remover
, a superfície precisa aquecer bastante.
Passo 4
Iteração 1 -> Iteração 2
Agora usamos
.
Temperatura de filme:
Repetimos cálculo das propriedades em
.
Sutherland:
Cálculo numérico (resumido):
Densidade:
Viscosidade cinemática:
Condutividade:
Reynolds local:
Nusselt local:
Coeficiente convectivo:
Nova estimativa de
:
Passo 5
Iteração 2 -> Iteração 3
Use
.
Temperatura de filme:
Repetindo cálculos (resumidos):
Nova estimativa:
Passo 6
Iteração 3 -> Iteração 4 (verificando convergência)
Use
.
Temperatura de filme:
Repetindo (resumido):
Nova estimativa:
Diferença entre
e
é cerca de
. Mais uma iteração daria mudança ainda menor (convergência atingida dentro de
).
Passo 7
Conclusão numérica: a iteração está convergindo para um valor da ordem de
. Podemos apresentar o valor final arredondado com a precisão compatível com os dados e aproximações usadas (Sutherland,
constante,
constante, etc.).