A seção reta de um tubo horizontal sofre redução de 10 cm de diâmetro para 5 cm . Se um fluido estiver escoando no sentido da seção larga para aestreita,
(a) a velocidade e a pressão aumentarão.
(b) a velocidade aumentará mas a pressão diminuirá.
(c) a velocidade diminuirá mas a pressão aumentará.
(d) a velocidade e a pressão diminuirão.
(e) a velocidade ou a pressão se modificará, mas não ambas.
(a) a velocidade e a pressão aumentarão.
(b) a velocidade aumentará mas a pressão diminuirá.
(c) a velocidade diminuirá mas a pressão aumentará.
(d) a velocidade e a pressão diminuirão.
(e) a velocidade ou a pressão se modificará, mas não ambas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A seção reta de um tubo horizontal diminui de diâmetro
para . - O fluido escoa do trecho largo para o trecho estreito (do ponto 1 para o ponto 2).
A pergunta implícita é: entre as alternativas (a)–(e), qual descreve corretamente o que acontece com a velocidade e com a pressão ao passar do trecho largo para o estreito?
Passo 2
Conservação de massa para fluxo incompressível e em regime permanente (equação da continuidade). Explicando devagar:
- Se o fluido é incompressível, o volume que entra por segundo em uma seção deve ser igual ao volume que sai por segundo em qualquer outra seção.
- Definindo
como área da seção e como velocidade média do fluido, o vazamento volumétrico é .
A equação da continuidade é
onde
e
são área e velocidade no trecho largo, e
e
no trecho estreito.
Expliquei as variáveis: em
,
em
.
Expliquei as variáveis:
Passo 3
Expressar as áreas em função dos diâmetros. A área de um círculo de diâmetro
é
Portanto a razão das áreas é
Agora uso os diâmetros do enunciado (peguei esses números do enunciado):
Passo 4
Usando continuidade para achar a relação entre as velocidades:
Interpretação simples: como a área ficou 4 vezes menor, a velocidade no trecho estreito fica 4 vezes maior. Conclusão parcial: a velocidade aumenta ao passar do largo para o estreito.
Passo 5
Agora a pressão: usamos o princípio de Bernoulli (para um fluido incompressível, em regime permanente, sem perdas de energia por atrito e ao longo de uma mesma linha de escoamento). A equação de Bernoulli é
onde
é a pressão,
a densidade do fluido,
a velocidade,
a aceleração da gravidade e
a elevação. Como o tubo é horizontal,
e o termo de potencial
cancela. Assim
Expliquei as variáveis de novo:
em Pa,
em
,
em
.
Passo 6
Da equação acima isolamos a diferença de pressão:
Como já vimos que
, o termo
é positivo (porque
). Logo
, ou seja,
: a pressão no trecho estreito é menor do que no trecho largo. Conclusão parcial: a pressão diminui ao passar para o trecho estreito.
Passo 7
Resumo didático e um exemplo numérico rápido (para intuir a ordem de grandeza):
- Resultado teórico: ao ir do trecho largo para o estreito, a velocidade aumenta e a pressão diminui.
- Exemplo numérico: suponha
. Então . Para água com ,
Isso mostra um decréscimo de pressão real e não desprezível; ilustra que a relação é consistente.
Resposta
(b) a velocidade aumentará mas a pressão diminuirá.