A seção reta de um tubo horizontal sofre redução de 10 cm de diâmetro para 5 cm . Se um fluido estiver escoando no sentido da seção larga para aestreita,
(a) a velocidade e a pressão aumentarão.
(b) a velocidade aumentará mas a pressão diminuirá.
(c) a velocidade diminuirá mas a pressão aumentará.
(d) a velocidade e a pressão diminuirão.
(e) a velocidade ou a pressão se modificará, mas não ambas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A seção reta de um tubo horizontal diminui de diâmetro \,D_1=10\\ \text{cm}\, para \,D_2=5\\ \text{cm}\,.
  • O fluido escoa do trecho largo para o trecho estreito (do ponto 1 para o ponto 2).
    A pergunta implícita é: entre as alternativas (a)–(e), qual descreve corretamente o que acontece com a velocidade e com a pressão ao passar do trecho largo para o estreito?

Passo 2

Conservação de massa para fluxo incompressível e em regime permanente (equação da continuidade). Explicando devagar:
  • Se o fluido é incompressível, o volume que entra por segundo em uma seção deve ser igual ao volume que sai por segundo em qualquer outra seção.
  • Definindo A como área da seção e v como velocidade média do fluido, o vazamento volumétrico é A v.
    A equação da continuidade é
A_1 v_1 = A_2 v_2,
onde A_1 e v_1 são área e velocidade no trecho largo, e A_2 e v_2 no trecho estreito.
Expliquei as variáveis: A em \text{m}^2, v em \text{m/s}.

Passo 3

Expressar as áreas em função dos diâmetros. A área de um círculo de diâmetro D é
A=\frac{\pi D^2}{4}.
Portanto a razão das áreas é
\frac{A_1}{A_2}=\left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2.
Agora uso os diâmetros do enunciado (peguei esses números do enunciado):
\frac{A_1}{A_2}=\left(\frac{10}{5}\right)^2=2^2=4.

Passo 4

Usando continuidade para achar a relação entre as velocidades:
v_2 = \frac{A_1}{A_2}\,v_1 = 4\,v_1.
Interpretação simples: como a área ficou 4 vezes menor, a velocidade no trecho estreito fica 4 vezes maior. Conclusão parcial: a velocidade aumenta ao passar do largo para o estreito.

Passo 5

Agora a pressão: usamos o princípio de Bernoulli (para um fluido incompressível, em regime permanente, sem perdas de energia por atrito e ao longo de uma mesma linha de escoamento). A equação de Bernoulli é
P + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g z = \text{constante},
onde P é a pressão, \rho a densidade do fluido, v a velocidade, g a aceleração da gravidade e z a elevação. Como o tubo é horizontal, z_1=z_2 e o termo de potencial \rho g z cancela. Assim
P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2.
Expliquei as variáveis de novo: P em Pa, \rho em \text{kg/m}^3, v em \text{m/s}.

Passo 6

Da equação acima isolamos a diferença de pressão:
P_1-P_2 = \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_2^2 - v_1^2\bigr).
Como já vimos que v_2=4v_1, o termo \bigl(v_2^2-v_1^2\bigr) é positivo (porque 4^2-1=16-1=15>0). Logo P_1-P_2>0, ou seja, P_1>P_2: a pressão no trecho estreito é menor do que no trecho largo. Conclusão parcial: a pressão diminui ao passar para o trecho estreito.

Passo 7

Resumo didático e um exemplo numérico rápido (para intuir a ordem de grandeza):
  • Resultado teórico: ao ir do trecho largo para o estreito, a velocidade aumenta e a pressão diminui.
  • Exemplo numérico: suponha v_1=1\\ \text{m/s}. Então v_2=4\\ \text{m/s}. Para água com \rho=1000\\ \text{kg/m}^3,
P_1-P_2=\tfrac{1}{2}\cdot1000\cdot(4^2-1^2)=500\cdot(16-1)=500\cdot15=7500\\ \text{Pa}.
Isso mostra um decréscimo de pressão real e não desprezível; ilustra que a relação é consistente.

Resposta

(b) a velocidade aumentará mas a pressão diminuirá.

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