07-\mathrm{O} ponto A do eixo de um conduto com \mathrm{D}=300 \mathrm{~mm} situa-se 122 m acima do plano de referência. A tubulação sai de “A” e termina no fundo de um reservatório cuja cota é 152,5 \mathrm{~m} referida ao mesmo plano. Se a linha de carga passar a 45,75 \mathrm{~m} acima de “A” e o nível d’água estiver 9,15 \mathrm{~m} acima do fundo, qual a vazão que alimentará o reservatório?
Dados: f=0,02 \mathrm{e} \mathrm{L}=3593,50 \mathrm{~m}.
\Delta h=f \cdot \frac{h}{D} \frac{v^{2}}{2 g}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
O enunciado pede: calcular a vazão que alimentará o reservatório.
Dados fornecidos (peguei todos estes dados do enunciado):
  • Diâmetro do conduto: D=300\\ \mathrm{mm}=0,300\\ \mathrm{m}.
  • Cota do ponto A: z_A=122\\ \mathrm{m}.
  • Cota do fundo do reservatório: z_{\text{fundo}}=152,5\\ \mathrm{m}.
  • Nível d’água no reservatório em relação ao fundo: 9,15\\ \mathrm{m}.
  • A linha de carga (energia total) passa 45,75\\ \mathrm{m} acima de A.
  • Fator de atrito: f=0,02.
  • Comprimento do conduto: L=3593,50\\ \mathrm{m}.
  • Fórmula de perda por atrito (Darcy–Weisbach dada no enunciado):
\Delta h = f\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v^{2}}{2g}.

Passo 2

Escolha do método e ideias físicas (explicação didática, sem pular etapas).
  • Vou aplicar a equação da energia entre o ponto A (no eixo do conduto) e a superfície livre do reservatório. A versão prática: a diferença entre a carga total em A (energia total por unidade de peso) e a carga na superfície do reservatório é gasta em perdas por atrito ao longo do conduto.
  • O enunciado informa diretamente a posição da linha de carga em A: isso significa que a carga total em A (energia por unidade de peso) é H_A = z_A + 45,75. A superfície livre do reservatório tem carga igual à sua elevação z_{\text{superf}} (pressão atmosférica em ambos os pontos e velocidade desprezível na superfície).
  • Assim podemos escrever:
H_A - z_{\text{superf}} = \Delta h_{\text{atr}}
onde \Delta h_{\text{atr}} é a perda por atrito dada pela fórmula de Darcy–Weisbach. Vou desprezar perdas singulares adicionais (entrada, saída, válvulas etc.) porque o enunciado só fornece a perda por atrito e não menciona outras perdas.

Passo 3

Calcular a elevação da superfície do reservatório e a carga em A.
  • Elevação da superfície do reservatório:
z_{\text{superf}} = z_{\text{fundo}} + 9,15 = 152,5 + 9,15 = 161,65\\ \mathrm{m}.
(Manipulação numérica exibida em TeX.)
  • Carga total em A (dada pela linha de carga):
H_A = z_A + 45,75 = 122 + 45,75 = 167,75\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a cabeça disponível para perdas (diferença de carga).
H_A - z_{\text{superf}} = 167,75 - 161,65 = 6,10\\ \mathrm{m}.
Essa diferença 6,10\\ \mathrm{m} é a energia por unidade de peso disponível para ser dissipada por atrito no conduto. Portanto,
\Delta h_{\text{atr}} = 6,10\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Escrever a equação de equilíbrio e substituir a expressão de Darcy–Weisbach.
A igualdade é
6,10 = f\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{v^{2}}{2g}.
Substituindo f=0,02, L=3593,50\\ \mathrm{m}, D=0,300\\ \mathrm{m} e g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}:
6,10 = 0,02\cdot\frac{3593{,}50}{0{,}300}\cdot\frac{v^{2}}{2\cdot9{,}81}.

Passo 6

Isolar v^{2} e calcular v (faço as contas passo a passo).
Calcule primeiro o fator multiplicativo:
\frac{L}{D}=\frac{3593{,}50}{0{,}300}=11978{,}333\ldots
f\cdot\frac{L}{D}=0{,}02\cdot11978{,}333\ldots =239{,}56666\ldots
e
2g=2\cdot9{,}81=19{,}62\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Logo a equação fica
6,10 = 239{,}56666\ldots\cdot\frac{v^{2}}{19{,}62}.
Isolando v^{2}:
v^{2} = \frac{6,10\cdot19{,}62}{239{,}56666\ldots}.
Calcule numericamente:
6,10\cdot19{,}62 = 119{,}682,
v^{2} = \frac{119{,}682}{239{,}56666\ldots} \approx 0{,}49951.
Portanto
v \approx \sqrt{0{,}49951} \approx 0{,}7068\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calcular a vazão Q a partir da velocidade encontrada.
Área da seção circular:
A = \frac{\pi D^{2}}{4} = \frac{\pi\cdot(0{,}300)^{2}}{4} = \frac{\pi\cdot0{,}090}{4} \approx 0{,}0706858\\ \mathrm{m^{2}}.
Vazão:
Q = A\cdot v \approx 0{,}0706858\cdot0{,}7068 \approx 0{,}04996\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Arredondando de forma prática:
Q \approx 0{,}0500\\ \mathrm{m^{3}/s} = 50{,}0\\ \mathrm{L/s}.

Passo 8

Interpretação final curta e um empurrãozinho: a vazão que alimenta o reservatório é cerca de 0{,}05\\ \mathrm{m^{3}/s}. Ótimo trabalho por chegar até aqui — dá pra revisar estes passos e repetir as contas à mão para treinar antes da prova!

Resposta

Q=0{,}0500\\ \mathrm{m^{3}/s}=50{,}0\\ \mathrm{L/s}

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