7-76 Considere um tanque de água quente de 50 cm de diâmetro e 95 cm de comprimento. O tanque é colocado no telhado de uma casa. A água dentro do tanque é aquecida a 80^{\circ} \mathrm{C} por um coletor solar de placa plana durante o dia. O tanque é então exposto a ar com vento a 8^{\circ} \mathrm{C} com uma velocidade média de 40 \mathrm{km} / \mathrm{h} durante a noite. Estime a temperatura do tanque após um período de 45 min. Assuma que a superfície do tanque esteja na mesma temperatura que a água em seu interior e que o coeficiente de transferência de calor nas superfícies superior e inferior seja o mesmo que na superfície lateral. Avalie as propriedades do ar a 50^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede: estimar a temperatura do tanque de água após um período de 45\\ \mathrm{min} quando um tanque cilíndrico, inicialmente a 80^\circ\mathrm{C}, é exposto ao ar a 8^\circ\mathrm{C} com vento. Dados fornecidos (pegar estes valores do enunciado):
  • Diâmetro do tanque: D=50\\ \mathrm{cm} = 0{,}50\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento (altura) do cilindro: L=95\\ \mathrm{cm} = 0{,}95\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura inicial da água (e da superfície): T_i=80^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ar ambiente: T_\infty=8^\circ\mathrm{C}.
  • Velocidade do vento: V_\infty=40\\ \mathrm{km/h}=11{,}11\\ \mathrm{m/s}.
  • Tempo de resfriamento: t=45\\ \mathrm{min}=2700\\ \mathrm{s}.
  • Assuma que a superfície do tanque está na mesma temperatura que a água interna (ou seja, a água e a superfície têm temperatura uniforme) e que o coeficiente convectivo h é o mesmo nas superfícies lateral e nas tampas.
  • Instrução: avaliar as propriedades do ar a 50^\circ\mathrm{C} (usarei esses valores para calcular o número de Reynolds, Prandtl e, a partir daí, o coeficiente convectivo).

Passo 2

Cálculos geométricos do tanque (volume, área superficial e comprimento característico). Vou explicar as fórmulas:
  • Volume do cilindro V: área da base vezes altura.
V = \pi\left(\frac{D}{2}\right)^2 L.
  • Área superficial total A: área lateral + duas tampas circulares.
A = \pi D L + 2\pi\left(\frac{D}{2}\right)^2.
  • Comprimento característico para Biot (usado em análises de transporte interno) definido como L_c=V/A.
Agora calculo numericamente:
V = \pi\left(\frac{0{,}50}{2}\right)^2(0{,}95) = \pi(0{,}25)^2(0{,}95) = \pi(0{,}0625)(0{,}95) \approx 0{,}1865\\ \mathrm{m^3}.
A = \pi(0{,}50)(0{,}95) + 2\pi(0{,}25)^2 = \pi(0{,}475) + 2\pi(0{,}0625) \approx 1{,}492 + 0{,}393 \approx 1{,}885\\ \mathrm{m^2}.
L_c = \frac{V}{A} \approx \frac{0{,}1865}{1{,}885} \approx 0{,}099\\ \mathrm{m}.
(Explicação didática: L_c dá uma escala para o transporte de calor interno; quando aplicamos o método de sistema lumped-capacitance normalmente verificamos o número de Biot Bi=hL_c/k para checar validade. Aqui o enunciado já pede para assumir temperatura uniforme entre água e superfície, então usaremos o método lumped mesmo que Bi possa ser maior que 0{,}1.)

Passo 3

Avaliação das propriedades do ar a 50^\circ\mathrm{C} (peguei estes valores típicos de tabelas de propriedades do ar a essa temperatura):
  • Densidade: \rho_\infty = 1{,}09\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Viscosidade dinâmica: \mu = 1{,}96\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Condutividade térmica: k_\infty = 0{,}028\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Número de Prandtl: Pr = 0{,}71.
(Observação: estes valores são os usados aqui para avaliar os números adimensionais; pequenas variações nas tabelas mudam pouco o resultado final.)
Calcule o número de Reynolds com base no diâmetro do cilindro:
Re_D = \frac{\rho_\infty V_\infty D}{\mu}.
Substituindo:
Re_D = \frac{1{,}09\times 11{,}11 \times 0{,}50}{1{,}96\times 10^{-5}} \approx \frac{6{,}055}{1{,}96\times10^{-5}} \approx 3{,}09\times 10^{5}.
(Interpretação: Re_D indica que o escoamento ao redor do cilindro está em regime de escoamento turbulento ao redor do corpo.)

Passo 4

Cálculo do coeficiente convectivo h por convecção forçada em torno de um cilindro em escoamento transversal. Vou usar a correlação de Churchill–Bernstein para o número de Nusselt baseado no diâmetro D:
\mathrm{Nu}_D = 0{,}3 + \frac{0{,}62\,Re_D^{1/2}Pr^{1/3}}{\left[1+(0{,}4/Pr)^{2/3}\right]^{1/4}} \left[1+\left(\frac{Re_D}{282000}\right)^{5/8}\right]^{4/5}.
Explano as variáveis: \mathrm{Nu}_D é hD/k_\infty, Re_D já calculado, Pr é o número de Prandtl.
Agora avalio passo a passo (valores numéricos arredondados para clareza):
Re_D^{1/2}\approx \sqrt{3{,}09\times10^{5}}\approx 555{,}8, \qquad Pr^{1/3}\approx 0{,}71^{1/3}\approx 0{,}892.
0{,}62\,Re_D^{1/2}Pr^{1/3}\approx 0{,}62\times555{,}8\times0{,}892\approx 306{,}8.
Denominador intermediário:
\left[1+(0{,}4/Pr)^{2/3}\right]^{1/4} \approx \left[1+(0{,}4/0{,}71)^{2/3}\right]^{1/4} \approx 1{,}139.
Fator corretivo de alto Re:
\left[1+\left(\frac{Re_D}{282000}\right)^{5/8}\right]^{4/5} \approx \left[1+(1{,}095)^{5/8}\right]^{4/5} \approx 1{,}782.
Combinando:
\mathrm{Nu}_D \approx 0{,}3 + \frac{306{,}8}{1{,}139}\times 1{,}782 \approx 0{,}3 + 269{,}3\times 1{,}782 \approx 0{,}3 + 480{,}2 \approx 480{,}5.
Agora h obtido por h = \mathrm{Nu}_D k_\infty / D:
h = \frac{480{,}5\times 0{,}028}{0{,}50} \approx 26{,}9\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
(Interpretação: esse valor de h é típico para vento forte em torno de um objeto externo.)

Passo 5

Modelagem com teoria do sistema lumped-capacitance (conforme o enunciado que iguala temperatura da superfície e do líquido). Vou deduzir a equação e explicar cada termo.
Energia armazenada na água: m c \Delta T, com m massa da água, c calor específico da água e \Delta T diferença de temperatura. Taxa de perda por convecção: Q = h A (T - T_\infty).
Balanço energético diferencial:
m c \frac{dT}{dt} = -h A (T - T_\infty).
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem; a solução com condição inicial T(0)=T_i é
T(t) - T_\infty = (T_i - T_\infty)\exp\!\left(-\frac{h A}{m c}\, t\right).
Explicando variáveis:
  • m é a massa da água: m=\rho_{\text{água}} Vá.
  • c é o calor específico da água (aqui uso c=4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, valor típico).
  • A é a área total calculada antes.
  • h é o coeficiente convectivo calculado no passo anterior.
  • t é o tempo em segundos.
Agora obtenho m numericamente (usei densidade da água a aproximadamente 80^\circ\mathrm{C}; um valor usual é \rho_{\text{água}}\approx 971\\ \mathrm{kg/m^3}á):
m = \rho_{\text{água}} V \approx 971\times 0{,}1865 \approx 181{,}1\\ \mathrm{kg}.á
Calculo a constante de tempo (taxa):
\frac{h A}{m c} = \frac{26{,}9\times 1{,}885}{181{,}1\times 4180} \approx \frac{50{,}7}{756998} \approx 6{,}70\times 10^{-5}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Constante de tempo \tau = \left(\dfrac{hA}{mc}\right)^{-1}\approx 1{,}49\times 10^{4}\\ \mathrm{s}\approx 4{,}15\\ \mathrm{h}.

Passo 6

Cálculo da temperatura após t=2700\\ \mathrm{s} usando a solução do passo anterior.
T(t)-T_\infty = (T_i - T_\infty)\exp\!\left(-\frac{h A}{m c}\, t\right).
Substituindo números:
T(2700)-8 = (80-8)\exp\!\left(-6{,}70\times10^{-5}\times 2700\right).
Avalio o expoente:
-6{,}70\times10^{-5}\times 2700 \approx -0{,}1809.
\exp(-0{,}1809)\approx 0{,}8346.
Portanto:
T(2700)-8 \approx 72\times 0{,}8346 \approx 60{,}13.
T(2700) \approx 8 + 60{,}13 \approx 68{,}13^\circ\mathrm{C}.
Interpretação final: após 45\\ \mathrm{min} o tanque resfria de 80^\circ\mathrm{C} para aproximadamente 68{,}1^\circ\mathrm{C} sob as hipóteses adotadas (temperatura uniforme água/superfície e propriedades do ar avaliadas a 50^\circ\mathrm{C}).

Resposta

T(45\\ \mathrm{min}) \approx 68{,}1^\circ\mathrm{C}

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