7-76 Considere um tanque de água quente de 50 cm de diâmetro e 95 cm de comprimento. O tanque é colocado no telhado de uma casa. A água dentro do tanque é aquecida a
por um coletor solar de placa plana durante o dia. O tanque é então exposto a ar com vento a
com uma velocidade média de 40
durante a noite. Estime a temperatura do tanque após um período de 45 min. Assuma que a superfície do tanque esteja na mesma temperatura que a água em seu interior e que o coeficiente de transferência de calor nas superfícies superior e inferior seja o mesmo que na superfície lateral. Avalie as propriedades do ar a
.
Passo 1
O enunciado pede: estimar a temperatura do tanque de água após um período de
quando um tanque cilíndrico, inicialmente a
, é exposto ao ar a
com vento. Dados fornecidos (pegar estes valores do enunciado):
- Diâmetro do tanque:
. - Comprimento (altura) do cilindro:
. - Temperatura inicial da água (e da superfície):
. - Temperatura do ar ambiente:
. - Velocidade do vento:
. - Tempo de resfriamento:
. - Assuma que a superfície do tanque está na mesma temperatura que a água interna (ou seja, a água e a superfície têm temperatura uniforme) e que o coeficiente convectivo
é o mesmo nas superfícies lateral e nas tampas. - Instrução: avaliar as propriedades do ar a
(usarei esses valores para calcular o número de Reynolds, Prandtl e, a partir daí, o coeficiente convectivo).
Passo 2
Cálculos geométricos do tanque (volume, área superficial e comprimento característico). Vou explicar as fórmulas:
- Volume do cilindro
: área da base vezes altura.
- Área superficial total
: área lateral + duas tampas circulares.
- Comprimento característico para Biot (usado em análises de transporte interno) definido como
.
Agora calculo numericamente:
(Explicação didática:
dá uma escala para o transporte de calor interno; quando aplicamos o método de sistema lumped-capacitance normalmente verificamos o número de Biot
para checar validade. Aqui o enunciado já pede para assumir temperatura uniforme entre água e superfície, então usaremos o método lumped mesmo que
possa ser maior que
.)
Passo 3
Avaliação das propriedades do ar a
(peguei estes valores típicos de tabelas de propriedades do ar a essa temperatura):
- Densidade:
. - Viscosidade dinâmica:
. - Condutividade térmica:
. - Número de Prandtl:
.
(Observação: estes valores são os usados aqui para avaliar os números adimensionais; pequenas variações nas tabelas mudam pouco o resultado final.)
Calcule o número de Reynolds com base no diâmetro do cilindro:
Substituindo:
(Interpretação:
indica que o escoamento ao redor do cilindro está em regime de escoamento turbulento ao redor do corpo.)
Passo 4
Cálculo do coeficiente convectivo
por convecção forçada em torno de um cilindro em escoamento transversal. Vou usar a correlação de Churchill–Bernstein para o número de Nusselt baseado no diâmetro
:
Explano as variáveis:
é
,
já calculado,
é o número de Prandtl.
Agora avalio passo a passo (valores numéricos arredondados para clareza):
Denominador intermediário:
Fator corretivo de alto
:
Combinando:
Agora
obtido por
:
(Interpretação: esse valor de
é típico para vento forte em torno de um objeto externo.)
Passo 5
Modelagem com teoria do sistema lumped-capacitance (conforme o enunciado que iguala temperatura da superfície e do líquido). Vou deduzir a equação e explicar cada termo.
Energia armazenada na água:
, com
massa da água,
calor específico da água e
diferença de temperatura. Taxa de perda por convecção:
.
Balanço energético diferencial:
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem; a solução com condição inicial
é
Explicando variáveis:
-
é a massa da água: . -
é o calor específico da água (aqui uso , valor típico). -
é a área total calculada antes. -
é o coeficiente convectivo calculado no passo anterior. -
é o tempo em segundos.
Agora obtenho
numericamente (usei densidade da água a aproximadamente
; um valor usual é
):
Calculo a constante de tempo (taxa):
Constante de tempo
Passo 6
Cálculo da temperatura após
usando a solução do passo anterior.
Substituindo números:
Avalio o expoente:
Portanto:
Interpretação final: após
o tanque resfria de
para aproximadamente
sob as hipóteses adotadas (temperatura uniforme água/superfície e propriedades do ar avaliadas a
).