-4.55 O volume entre os dois cilindros de um capacitor cilíndrico é preenchido com um dielétrico de constante dielétrica \kappa e ligado a uma bateria com diferença de potencial \Delta V. Qual é a carga do capacitor? Qual é a razão entre esta carga e a carga de um capacitor idêntico em tudo, mas sem o dielétrico entre as placas, ligado sob a mesma diferença de potencial?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que temos (sem começar a resolver ainda).
  • O enunciado descreve um capacitor formado por dois cilindros concêntricos (capacitor coaxial).
  • Informações dadas (implícitas pela geometria padrão):
    • raio do cilindro interno: a (m),
    • raio do cilindro externo (interno do condutor externo): b (m), com b>a,
    • comprimento efetivo do capacitor: L (m) — assumimos L muito maior que b para desprezar efeitos de borda,
    • o volume entre os dois cilindros está completamente preenchido por um dielétrico homogêneo com constante dielétrica \kappa,
    • o capacitor é ligado a uma bateria que mantém uma diferença de potencial \Delta V entre os cilindros.
  • O que é pedido:
    1. Determinar a carga do capacitor (ou seja, a carga em um dos condutores) quando o espaço entre cilindros está preenchido pelo dielétrico.
    2. Determinar a razão entre essa carga e a carga de um capacitor idêntico, mas sem o dielétrico (ou seja, com vácuo entre os cilindros), ligado à mesma \Delta V.

Passo 2

Escolha do método e notações — confirmação das hipóteses que vou usar (essas são as hipóteses padrão para este problema e necessárias para resolver):
  • Vou usar Gauss para um campo eletrostático cilíndrico e o conceito do campo de deslocamento \mathbf{D} no dielétrico.
  • Notações:
    • \lambda será a densidade linear de carga livre no cilindro interno (C/m).
    • \epsilon_0 é a permissividade do vácuo.
    • \epsilon é a permissividade do dielétrico, \epsilon=\kappa\epsilon_0.
    • A carga total no comprimento L do condutor interno é Q=\lambda L.
  • Motivação do método: para um capacitor coaxial o campo elétrico entre os cilindros é radial e tem simetria cilíndrica — Gauss é a maneira mais direta e simples de obter E(r). Com o dielétrico uniforme usamos \mathbf{D}=\epsilon\mathbf{E} e a lei de Gauss para \mathbf{D}.

Passo 3

Aplicar a lei de Gauss para o campo de deslocamento \mathbf{D} no dielétrico.
  • Para uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r tal que a<r<b e comprimento L, a lei de Gauss para \mathbf{D} diz:
\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{livre,\,enc}}.
  • A superfície tem área lateral 2\pi r L e \mathbf{D} é radial e constante sobre essa superfície, então:
D(2\pi r L)=\lambda L.
  • Cancelando L:
D(r)=\frac{\lambda}{2\pi r}.
  • Lembrando que \mathbf{D}=\epsilon\mathbf{E}, segue que
E(r)=\frac{D(r)}{\epsilon}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon r}.
Aqui explique brevemente o que cada símbolo significa:
  • \mathbf{D} é o vetor campo de deslocamento, que incorpora o efeito do dielétrico sobre o campo; suas unidades são C/m^2.
  • \epsilon é a permissividade do material entre os condutores; para um dielétrico homogêneo \epsilon=\kappa\epsilon_0.
  • \lambda é a carga livre por unidade de comprimento no condutor interno (a que interessa ao circuito).

Passo 4

Calcular a diferença de potencial \Delta V em termos de \lambda.
  • A diferença de potencial entre os cilindros (módulo) é a integral do campo elétrico radial de a até b:
\Delta V = \int_a^b E(r)\,dr.
  • Substituindo E(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon r}:
\Delta V = \int_a^b \frac{\lambda}{2\pi\epsilon r}\,dr = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon}\int_a^b \frac{dr}{r}.
  • A integral dá um logaritmo:
\Delta V = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).

Passo 5

Isolar \lambda e obter a carga Q com o dielétrico.
  • Resolver a expressão anterior para \lambda:
\lambda = \frac{2\pi\epsilon\,\Delta V}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
  • A carga total no comprimento L é Q=\lambda L, logo:
Q=\frac{2\pi\epsilon L\,\Delta V}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
  • Agora lembrar que \epsilon=\kappa\epsilon_0, portanto a carga com dielétrico é:
Q=\frac{2\pi\kappa\epsilon_0 L\,\Delta V}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.

Passo 6

Calcular a carga do capacitor idêntico sem dielétrico (ou seja, com vácuo entre os cilindros) e a razão pedida.
  • Para o caso sem dielétrico, basta tomar \kappa=1 (ou \epsilon=\epsilon_0). Então a carga sem dielétrico é:
Q_0=\frac{2\pi\epsilon_0 L\,\Delta V}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
  • A razão entre as cargas é:
\frac{Q}{Q_0}=\frac{\dfrac{2\pi\kappa\epsilon_0 L\,\Delta V}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}}{\dfrac{2\pi\epsilon_0 L\,\Delta V}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}}=\kappa.

Passo 7

Interpretação física curta e dica de prova (como aplicar isto rapidamente na prova).
  • Resultado físico: o dielétrico aumenta a permissividade do meio por um fator \kappa, então para a mesma \Delta V o capacitor armazena \kappa vezes mais carga. Em termos de capacitância, C=\kappa C_0.
  • Dica prática: em provas, se pedirem carga com dielétrico preenchendo todo o espaço entre as placas, muitas vezes basta multiplicar a expressão do vácuo por \kappa. Se o dielétrico não preencher todo o espaço, aí precisa adaptar (casos de dielétricos parciais exigem divisão em regiões ou equivalente em capacitores em série/paralelo).

Resposta

Q=\frac{2\pi\kappa\epsilon_0 L\,\Delta V}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}
\frac{Q}{Q_0}=\kappa

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