-4.55 O volume entre os dois cilindros de um capacitor cilíndrico é preenchido com um dielétrico de constante dielétrica
e ligado a uma bateria com diferença de potencial
. Qual é a carga do capacitor? Qual é a razão entre esta carga e a carga de um capacitor idêntico em tudo, mas sem o dielétrico entre as placas, ligado sob a mesma diferença de potencial?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que temos (sem começar a resolver ainda).
- O enunciado descreve um capacitor formado por dois cilindros concêntricos (capacitor coaxial).
- Informações dadas (implícitas pela geometria padrão):
- raio do cilindro interno:
(m), - raio do cilindro externo (interno do condutor externo):
(m), com , - comprimento efetivo do capacitor:
(m) — assumimos muito maior que para desprezar efeitos de borda, - o volume entre os dois cilindros está completamente preenchido por um dielétrico homogêneo com constante dielétrica
, - o capacitor é ligado a uma bateria que mantém uma diferença de potencial
entre os cilindros.
- raio do cilindro interno:
- O que é pedido:
- Determinar a carga do capacitor (ou seja, a carga em um dos condutores) quando o espaço entre cilindros está preenchido pelo dielétrico.
- Determinar a razão entre essa carga e a carga de um capacitor idêntico, mas sem o dielétrico (ou seja, com vácuo entre os cilindros), ligado à mesma
.
Passo 2
Escolha do método e notações — confirmação das hipóteses que vou usar (essas são as hipóteses padrão para este problema e necessárias para resolver):
- Vou usar Gauss para um campo eletrostático cilíndrico e o conceito do campo de deslocamento
no dielétrico. - Notações:
-
será a densidade linear de carga livre no cilindro interno (C/m). -
é a permissividade do vácuo. -
é a permissividade do dielétrico, . - A carga total no comprimento
do condutor interno é .
-
- Motivação do método: para um capacitor coaxial o campo elétrico entre os cilindros é radial e tem simetria cilíndrica — Gauss é a maneira mais direta e simples de obter
. Com o dielétrico uniforme usamos e a lei de Gauss para .
Passo 3
Aplicar a lei de Gauss para o campo de deslocamento
no dielétrico.
- Para uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio
tal que e comprimento , a lei de Gauss para diz:
- A superfície tem área lateral
e é radial e constante sobre essa superfície, então:
- Cancelando
:
- Lembrando que
, segue que
Aqui explique brevemente o que cada símbolo significa:
-
é o vetor campo de deslocamento, que incorpora o efeito do dielétrico sobre o campo; suas unidades são C/m^2. -
é a permissividade do material entre os condutores; para um dielétrico homogêneo . -
é a carga livre por unidade de comprimento no condutor interno (a que interessa ao circuito).
Passo 4
Calcular a diferença de potencial
em termos de
.
- A diferença de potencial entre os cilindros (módulo) é a integral do campo elétrico radial de
até :
- Substituindo
:
- A integral dá um logaritmo:
Passo 5
Isolar
e obter a carga
com o dielétrico.
- Resolver a expressão anterior para
:
- A carga total no comprimento
é , logo:
- Agora lembrar que
, portanto a carga com dielétrico é:
Passo 6
Calcular a carga do capacitor idêntico sem dielétrico (ou seja, com vácuo entre os cilindros) e a razão pedida.
- Para o caso sem dielétrico, basta tomar
(ou ). Então a carga sem dielétrico é:
- A razão entre as cargas é:
Passo 7
Interpretação física curta e dica de prova (como aplicar isto rapidamente na prova).
- Resultado físico: o dielétrico aumenta a permissividade do meio por um fator
, então para a mesma o capacitor armazena vezes mais carga. Em termos de capacitância, . - Dica prática: em provas, se pedirem carga com dielétrico preenchendo todo o espaço entre as placas, muitas vezes basta multiplicar a expressão do vácuo por
. Se o dielétrico não preencher todo o espaço, aí precisa adaptar (casos de dielétricos parciais exigem divisão em regiões ou equivalente em capacitores em série/paralelo).