Um próton e um elétron são mantidos em posições fixas sobre o eixo horizontal x. O próton está na posição x=-d e o elétron na posição x=d. Ambos são soltos simultaneamente. Se a única força que age entre as duas partículas é a força elétrica, de atração, qual partícula alcança primeiro a origem? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Um próton está fixo inicialmente em x=-d.
  • Um elétron está fixo inicialmente em x=d.
  • Ambos são soltos simultaneamente; a única força que age é a força elétrica de atração entre eles.
  • Não há outras forças externas.
O que se pede: determinar qual partícula alcança a origem primeiro (justificar a resposta).

Passo 2

Definição útil: centro de massa de duas partículas. Para duas partículas com massas m_p (próton) e m_e (elétron) e posições x_p(t) e x_e(t), o centro de massa x_{\rm cm}(t) é
x_{\rm cm}(t)=\frac{m_p x_p(t)+m_e x_e(t)}{m_p+m_e}.
Aqui m_p e m_e são as massas das partículas e x_p,x_e suas coordenadas ao longo do eixo x.

Passo 3

Propriedade física importante (explicação didática): quando só atuam forças internas entre as partículas (a força elétrica entre elas é interna ao sistema formado pelas duas partículas) o momento linear total do sistema é conservado. Em fórmulas: a derivada do momento total é a soma das forças externas; se não há forças externas, a derivada é zero e o momento total é constante. Como o momento total P_{\rm tot}=(m_p+m_e)\,v_{\rm cm}, isso implica que a velocidade do centro de massa v_{\rm cm} é constante; como inicialmente as partículas estão em repouso, v_{\rm cm}=0 e portanto x_{\rm cm}(t) é constante no tempo. Em palavras: o centro de massa permanece onde estava no momento em que soltaram as partículas.

Passo 4

Calcular a posição inicial do centro de massa (pegando as posições dadas no enunciado):
x_{\rm cm}=\frac{m_p(-d)+m_e(d)}{m_p+m_e} = d\cdot\frac{m_e-m_p}{m_p+m_e}.
Observação sobre o sinal: como m_p>m_e (o próton é muito mais massivo que o elétron), o numerador m_e-m_p é negativo, logo
x_{\rm cm}<0.
Ou seja, o centro de massa está à esquerda da origem (próximo ao próton).

Passo 5

Quando as partículas se encontrarem (colidirem ou se aproximarem até o mesmo ponto), nesse instante suas posições coincidem: x_p=x_e=x_{\rm encontro}. Nesse caso o centro de massa, que é a média ponderada das posições, vale exatamente esse ponto comum; portanto o ponto de encontro é
x_{\rm encontro}=x_{\rm cm}.
Como vimos em

Passo 6

Agora raciocínio final sobre quem alcança a origem primeiro.
  • O elétron parte de x_e(0)=d>0 e vai em direção a x_{\rm encontro}=x_{\rm cm}<0. Para ir de d até um ponto negativo, a trajetória do elétron necessariamente atravessa a origem x=0. Logo o elétron passa pela origem em algum instante anterior ao encontro.
  • O próton parte de x_p(0)=-d e vai em direção a x_{\rm encontro}=x_{\rm cm}, mas como x_{\rm cm} está entre -d e 0 (de fato x_{\rm cm}=-d + \dfrac{2d\,m_e}{m_p+m_e}, que é negativo), o próton se desloca apenas de -d até esse x_{\rm cm}<0; ele nunca chega a x=0 antes do encontro — na verdade ele não chega à origem antes do encontro e não chega à origem de modo algum antes do instante em que o elétron já a atravessou.
Portanto o elétron atravessa a origem primeiro. (Intuição adicional: embora a força elétrica sobre cada partícula tenha mesma magnitude, a aceleração do elétron é muito maior porque a=F/m e m_e\ll m_p; isso reforça a ideia de que o elétron se move muito mais e cruza a origem.)

Passo 7

Resumo didático final e encorajador: a conclusão vem direto da conservação do centro de massa — por ser mais leve, o elétron “caminha” bem mais até o ponto de encontro (que fica do lado do próton), então ele atravessa a origem antes do próton. Se as massas fossem iguais, o encontro ocorreria exatamente na origem e ambos a alcançariam ao mesmo tempo.

Resposta

O elétron alcança a origem primeiro.

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