Um próton e um elétron são mantidos em posições fixas sobre o eixo horizontal
. O próton está na posição
e o elétron na posição
. Ambos são soltos simultaneamente. Se a única força que age entre as duas partículas é a força elétrica, de atração, qual partícula alcança primeiro a origem? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Um próton está fixo inicialmente em
. - Um elétron está fixo inicialmente em
. - Ambos são soltos simultaneamente; a única força que age é a força elétrica de atração entre eles.
- Não há outras forças externas.
O que se pede: determinar qual partícula alcança a origem primeiro (justificar a resposta).
Passo 2
Definição útil: centro de massa de duas partículas. Para duas partículas com massas
(próton) e
(elétron) e posições
e
, o centro de massa
é
Aqui
e
são as massas das partículas e
suas coordenadas ao longo do eixo
.
Passo 3
Propriedade física importante (explicação didática): quando só atuam forças internas entre as partículas (a força elétrica entre elas é interna ao sistema formado pelas duas partículas) o momento linear total do sistema é conservado. Em fórmulas: a derivada do momento total é a soma das forças externas; se não há forças externas, a derivada é zero e o momento total é constante. Como o momento total
, isso implica que a velocidade do centro de massa
é constante; como inicialmente as partículas estão em repouso,
e portanto
é constante no tempo. Em palavras: o centro de massa permanece onde estava no momento em que soltaram as partículas.
Passo 4
Calcular a posição inicial do centro de massa (pegando as posições dadas no enunciado):
Observação sobre o sinal: como
(o próton é muito mais massivo que o elétron), o numerador
é negativo, logo
Ou seja, o centro de massa está à esquerda da origem (próximo ao próton).
Passo 5
Quando as partículas se encontrarem (colidirem ou se aproximarem até o mesmo ponto), nesse instante suas posições coincidem:
. Nesse caso o centro de massa, que é a média ponderada das posições, vale exatamente esse ponto comum; portanto o ponto de encontro é
Como vimos em
Passo 6
Agora raciocínio final sobre quem alcança a origem primeiro.
-
O elétron parte de
e vai em direção a . Para ir de até um ponto negativo, a trajetória do elétron necessariamente atravessa a origem . Logo o elétron passa pela origem em algum instante anterior ao encontro. -
O próton parte de
e vai em direção a , mas como está entre e (de fato , que é negativo), o próton se desloca apenas de até esse ; ele nunca chega a antes do encontro — na verdade ele não chega à origem antes do encontro e não chega à origem de modo algum antes do instante em que o elétron já a atravessou.
Portanto o elétron atravessa a origem primeiro. (Intuição adicional: embora a força elétrica sobre cada partícula tenha mesma magnitude, a aceleração do elétron é muito maior porque
e
; isso reforça a ideia de que o elétron se move muito mais e cruza a origem.)
Passo 7
Resumo didático final e encorajador: a conclusão vem direto da conservação do centro de massa — por ser mais leve, o elétron “caminha” bem mais até o ponto de encontro (que fica do lado do próton), então ele atravessa a origem antes do próton. Se as massas fossem iguais, o encontro ocorreria exatamente na origem e ambos a alcançariam ao mesmo tempo.
Resposta
O elétron alcança a origem primeiro.