2-56 (2-64) Considere uma extensa parede plana de espessura L=0,3 \mathrm{~m}, condutividade térmica k=2,5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}-\mathrm{K} e área da superfície A=12 \mathrm{~m}^{2}. O lado esquerdo da parede em x=0 está sujeito a fluxo de calor líquido de \dot{q}_{0}=700 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, e sua temperatura é T_{1}=80^{\circ} \mathrm{C}. Considerando que a condutividade térmica é constante e não há geração de calor na parede, a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da parede, b) obtenha a relação para a variação de temperatura na parede resolvendo a equação diferencial e c) avalie a temperatura na superfície direita da parede em x=L.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (peguei todos os valores do enunciado).
Dados:
  • Espessura da parede: L=0{,}3\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica (constante): k=2{,}5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\text{-}\mathrm{K}.
  • Área da superfície: A=12\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Fluxo de calor líquido no lado esquerdo (em x=0): \dot{q}_{0}=700\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
  • Temperatura na face esquerda (em x=0): T_{1}=80{,}^\circ\mathrm{C}.
O enunciado pede:
(a) expressar a equação diferencial e as condições de contorno para condução unidimensional, permanente, sem geração de calor;
(b) obter a relação para a variação de temperatura na parede (isto é, a solução T(x));
(c) avaliar numericamente a temperatura na superfície direita, em x=L.

Passo 2

Escrever a equação diferencial e entender as condições de contorno.
Para condução unidimensional, em regime permanente e sem geração volumétrica, a equação de conservação de energia (para condutividade constante) é:
\frac{d}{dx}\!\left(k\frac{dT}{dx}\right)=0.
Como k é constante, isso simplifica para
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}=0.
Agora as condições de contorno (BCs) fornecidas pelo enunciado:
  • Temperatura conhecida na face esquerda:
T(0)=T_{1}=80{,}^\circ\mathrm{C}.
  • Fluxo de calor aplicado na face esquerda: convensão comum de sinais em condução determina que o fluxo de calor unidimensional na direção x (por unidade de área) é dado por a lei de Fourier
\dot{q}''_{x}=-k\frac{dT}{dx}.
Se \dot{q}_{0} é o fluxo líquido aplicado na face x=0 e é tomado como positivo entrando na parede, a condição de contorno em x=0 é
-k\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=\dot{q}_{0}=700\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Observação sobre consistência: o enunciado dá simultaneamente T(0) e \dot{q}_{0}; isso não é problema desde que eles sejam consistentes com a solução da equação (neste caso serão consistentes porque a equação é de segunda ordem com duas constantes que podem ser determinadas por essas duas condições).

Passo 3

Resolver a equação diferencial por integração (ensino passo a passo).
Partimos de
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}=0.
Integramos uma vez em relação a x:
\frac{dT}{dx}=C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração (representa a inclinação da distribuição de temperatura).
Integramos novamente:
T(x)=C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração (representa a temperatura quando x=0, caso a condição permita).
Essas duas constantes serão encontradas pelas BCs.

Passo 4

Aplicar as condições de contorno para determinar as constantes.
Usando a condição de temperatura na face esquerda:
T(0)=C_{1}\cdot 0 + C_{2}=C_{2}=T_{1}=80{,}^\circ\mathrm{C}.
Portanto
C_{2}=80{,}^\circ\mathrm{C}.
Usando a condição de fluxo na face esquerda, com a lei de Fourier:
-k\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=-k C_{1}=\dot{q}_{0}.
Isolando C_{1}:
C_{1}=-\frac{\dot{q}_{0}}{k}.
Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral, obtemos a distribuição de temperatura:
T(x)=-\frac{\dot{q}_{0}}{k}\,x + T_{1}.
Essa é a relação pedida na alínea (b): perfil linear de temperatura, decaindo com x se o fluxo é para dentro a partir de x=0.

Passo 5

Avaliar numericamente a temperatura na superfície direita x=L (alínea (c)), mostrando contas detalhadas sem pular etapas.
Primeiro calcular o coeficiente \dfrac{\dot{q}_{0}}{k}:
\frac{\dot{q}_{0}}{k}=\frac{700}{2{,}5}.
Fazendo a divisão passo a passo:
\frac{700}{2{,}5}=\frac{7000}{25}=280\\ \mathrm{K}/\mathrm{m}\\ \text{(ou }^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}\text{)},
pois quando dividimos por \mathrm{W}/\mathrm{m}\text{-}\mathrm{K} o resultado junto a x dá temperatura.
Agora multiplicar por L=0{,}3\\ \mathrm{m}:
\frac{\dot{q}_{0}}{k}\,L=280\times 0{,}3=84\\ ^\circ\mathrm{C}.
Finalmente calcular T(L) usando a expressão:
T(L)=-\frac{\dot{q}_{0}}{k}\,L + T_{1}= -84 + 80 = -4\\ ^\circ\mathrm{C}.
Como observação útil (cheque rápido): a taxa de calor que atravessa a parede é \dot{Q}=\dot{q}_{0}\,A=700\times 12=8400\\ \mathrm{W}. Isso confirma a magnitude do fluxo.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{d^{2}T}{dx^{2}}=0, com condições de contorno \;T(0)=T_{1}=80{,}^\circ\mathrm{C}\; e \; -k\left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=0}=\dot{q}_{0}=700\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.\n
(b) \displaystyle T(x)=-\frac{\dot{q}_{0}}{k}\,x+T_{1}.\n
(c) \displaystyle T(L)=80{,}^\circ\mathrm{C}-\frac{700}{2{,}5}\times 0{,}3=-4{,}^\circ\mathrm{C}.

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