2-56 (2-64) Considere uma extensa parede plana de espessura L=0,3 \mathrm{~m}, condutividade térmica k=2,5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}-\mathrm{K} e área da superfície A=12 \mathrm{~m}^{2}. O lado esquerdo da parede em x=0 está sujeito a fluxo de calor líquido de \dot{q}_{0}=700 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, e sua temperatura é T_{1}=80^{\circ} \mathrm{C}. Considerando que a condutividade térmica é constante e não há geração de calor na parede, a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da parede, b) obtenha a relação para a variação de temperatura na parede resolvendo a equação diferencial e c) avalie a temperatura na superfície direita da parede em x=L.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (peguei todos os valores do enunciado).
Fluxo de calor líquido no lado esquerdo (em x=0): \dot{q}_{0}=700\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Temperatura na face esquerda (em x=0): T_{1}=80{,}^\circ\mathrm{C}.
O enunciado pede:
(a) expressar a equação diferencial e as condições de contorno para condução unidimensional, permanente, sem geração de calor;
(b) obter a relação para a variação de temperatura na parede (isto é, a solução T(x));
(c) avaliar numericamente a temperatura na superfície direita, em x=L.
Passo 2
Escrever a equação diferencial e entender as condições de contorno.
Para condução unidimensional, em regime permanente e sem geração volumétrica, a equação de conservação de energia (para condutividade constante) é:
\frac{d}{dx}\!\left(k\frac{dT}{dx}\right)=0.
Como k é constante, isso simplifica para
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}=0.
Agora as condições de contorno (BCs) fornecidas pelo enunciado:
Temperatura conhecida na face esquerda:
T(0)=T_{1}=80{,}^\circ\mathrm{C}.
Fluxo de calor aplicado na face esquerda: convensão comum de sinais em condução determina que o fluxo de calor unidimensional na direção x (por unidade de área) é dado por a lei de Fourier
\dot{q}''_{x}=-k\frac{dT}{dx}.
Se \dot{q}_{0} é o fluxo líquido aplicado na face x=0 e é tomado como positivo entrando na parede, a condição de contorno em x=0 é
Observação sobre consistência: o enunciado dá simultaneamente T(0) e \dot{q}_{0}; isso não é problema desde que eles sejam consistentes com a solução da equação (neste caso serão consistentes porque a equação é de segunda ordem com duas constantes que podem ser determinadas por essas duas condições).
Passo 3
Resolver a equação diferencial por integração (ensino passo a passo).
Partimos de
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}=0.
Integramos uma vez em relação a x:
\frac{dT}{dx}=C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração (representa a inclinação da distribuição de temperatura).
Integramos novamente:
T(x)=C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração (representa a temperatura quando x=0, caso a condição permita).
Essas duas constantes serão encontradas pelas BCs.
Passo 4
Aplicar as condições de contorno para determinar as constantes.
Usando a condição de temperatura na face esquerda:
Como observação útil (cheque rápido): a taxa de calor que atravessa a parede é \dot{Q}=\dot{q}_{0}\,A=700\times 12=8400\\ \mathrm{W}. Isso confirma a magnitude do fluxo.
Resposta
(a) \displaystyle \frac{d^{2}T}{dx^{2}}=0, com condições de contorno \;T(0)=T_{1}=80{,}^\circ\mathrm{C}\; e \; -k\left.\dfrac{dT}{dx}\right|_{x=0}=\dot{q}_{0}=700\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.\n
(b) \displaystyle T(x)=-\frac{\dot{q}_{0}}{k}\,x+T_{1}.\n
(c) \displaystyle T(L)=80{,}^\circ\mathrm{C}-\frac{700}{2{,}5}\times 0{,}3=-4{,}^\circ\mathrm{C}.