Considere um contêiner esférico de raio interno r_{l}, raio externo r_{2} e condutividade térmica k. Expresse a condição de contorno na superfície interna do contêiner para condução unidimensional permanente nos seguintes casos:
convecção para o meio em temperatura T_{\infty} com coeficiente de transferência de calor h.

Passo 1

O enunciado dá um contêiner esférico com raio interno r_{1}, raio externo r_{2} e condutividade térmica k. Há condução permanente unidimensional (radial) no sólido do contêiner. Na superfície interna ( r=r_{1}) há convecção para um meio a temperatura T_{\infty} com coeficiente de transferência de calor h.
O que se pede: escrever a condição de contorno na superfície interna r=r_{1} que relacione o campo de temperatura T(r) com a transferência convectiva para o fluido externo.
Informações relevantes dadas:
  • Raio interno: r_{1}.
  • Raio externo: r_{2}.
  • Condutividade térmica do material: k.
  • Temperatura do meio convectante: T_{\infty}.
  • Coeficiente de convecção: h.
  • Processo em regime permanente, condução unidimensional radial.

Passo 2

Conceito físico e expressão da lei de Fourier (fluxo de condução radial por unidade de área).
A lei de Fourier em coordenadas radiais, para fluxo radial por unidade de área (fluxo de calor convectivo positivo quando sai radialmente para fora), é dada por:
q_{r}(r) = -k\,\frac{dT}{dr}(r),
onde:
  • q_{r}(r) é o fluxo de calor por unidade de área na direção radial (W/m²),
  • k é a condutividade térmica do material (W/m·K),
  • \dfrac{dT}{dr}(r) é a derivada radial da temperatura; o sinal negativo indica que o calor flui na direção de decrescimento de temperatura (do quente para o frio),
  • a coordenada r cresce para fora (normalmente adotamos r positivo para fora).
Explanação didática: pense que \dfrac{dT}{dr} mede quanto a temperatura muda quando me afasto do centro. Se a temperatura diminui ao sair ( \dfrac{dT}{dr}<0), então -k\dfrac{dT}{dr}>0 indica fluxo de calor positivo no sentido externo.

Passo 3

Expressão da condição de convecção na superfície (Lei de Newton do resfriamento).
A convecção na superfície é descrita pela Lei de Newton do resfriamento (fluxo convectivo por unidade de área):
q_{\text{conv}} = h\bigl(T(r_{1}) - T_{\infty}\bigr),
onde:
  • q_{\text{conv}} é o fluxo de calor por unidade de área transferido do sólido para o fluido (W/m²),
  • h é o coeficiente de transferência convectiva (W/m²·K),
  • T(r_{1}) é a temperatura da superfície interna do contêiner,
  • T_{\infty} é a temperatura do meio distante.
Interpretação: se T(r_{1})>T_{\infty}, o produto h(T(r_{1})-T_{\infty}) é positivo, indicando calor saindo da superfície para o meio.

Passo 4

Condições de continuidade de fluxo na interface sólido–fluido e formulação da condição de contorno diferencial.
No equilíbrio (regime permanente) o fluxo condutivo que chega à superfície do sólido deve ser igual ao fluxo convectivo que sai para o fluido. Assim, por unidade de área:
q_{r}(r_{1}) = q_{\text{conv}}.
Substituindo as expressões dos passos anteriores:
-k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=r_{1}} = h\bigl(T(r_{1}) - T_{\infty}\bigr).
Esta é a forma padrão da condição de contorno na superfície interna em termos da derivada radial da temperatura.

Passo 5

Forma alternativa usando taxa total de calor (quando for útil ao resolver a equação diferencial).
Se for conveniente trabalhar com a taxa total de calor \dot{Q} atravessando a superfície esférica de raio r_{1}, usa-se a área da esfera A=4\pi r_{1}^{2}. Assim:
\dot{Q} = 4\pi r_{1}^{2}\,q_{r}(r_{1}) = 4\pi r_{1}^{2}\,h\bigl(T(r_{1})-T_{\infty}\bigr).
Também pode-se escrever, equivalently,
\dot{Q} = -4\pi r_{1}^{2}\,k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=r_{1}}.

Passo 6

Observações sobre sinais e uso prático na resolução da equação diferencial radial.
  • A forma apresentada em -k\left.\dfrac{dT}{dr}\right|_{r=r_{1}} = h\bigl(T(r_{1})-T_{\infty}\bigr) é a mais usada: ela liga a derivada da temperatura na superfície ao próprio valor de temperatura na superfície.
  • Se for preciso, pode-se reorganizar para obter a derivada:
\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=r_{1}} = -\frac{h}{k}\bigl(T(r_{1})-T_{\infty}\bigr).
  • Essa condição é uma condição de fluxo do tipo Robin (mista), ou seja, combina valor da função T(r_{1}) e sua derivada.

Resposta

-k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=r_{1}} = h\bigl(T(r_{1}) - T_{\infty}\bigr)
\dot{Q} = 4\pi r_{1}^{2}\,h\bigl(T(r_{1})-T_{\infty}\bigr) = -4\pi r_{1}^{2}\,k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=r_{1}}

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