Considere um contêiner esférico de raio interno r_{l}, raio externo r_{2} e condutividade térmica k. Expresse a condição de contorno na superfície interna do contêiner para condução unidimensional permanente nos seguintes casos:
convecção para o meio em temperatura T_{\infty} com coeficiente de transferência de calor h.
Passo 1
O enunciado dá um contêiner esférico com raio interno r_{1}, raio externo r_{2} e condutividade térmica k. Há condução permanente unidimensional (radial) no sólido do contêiner. Na superfície interna (r=r_{1}) há convecção para um meio a temperatura T_{\infty} com coeficiente de transferência de calor h.
O que se pede: escrever a condição de contorno na superfície interna r=r_{1} que relacione o campo de temperatura T(r) com a transferência convectiva para o fluido externo.
Informações relevantes dadas:
Raio interno: r_{1}.
Raio externo: r_{2}.
Condutividade térmica do material: k.
Temperatura do meio convectante: T_{\infty}.
Coeficiente de convecção: h.
Processo em regime permanente, condução unidimensional radial.
Passo 2
Conceito físico e expressão da lei de Fourier (fluxo de condução radial por unidade de área).
A lei de Fourier em coordenadas radiais, para fluxo radial por unidade de área (fluxo de calor convectivo positivo quando sai radialmente para fora), é dada por:
q_{r}(r) = -k\,\frac{dT}{dr}(r),
onde:
q_{r}(r) é o fluxo de calor por unidade de área na direção radial (W/m²),
k é a condutividade térmica do material (W/m·K),
\dfrac{dT}{dr}(r) é a derivada radial da temperatura; o sinal negativo indica que o calor flui na direção de decrescimento de temperatura (do quente para o frio),
a coordenada r cresce para fora (normalmente adotamos r positivo para fora).
Explanação didática: pense que \dfrac{dT}{dr} mede quanto a temperatura muda quando me afasto do centro. Se a temperatura diminui ao sair (\dfrac{dT}{dr}<0), então -k\dfrac{dT}{dr}>0 indica fluxo de calor positivo no sentido externo.
Passo 3
Expressão da condição de convecção na superfície (Lei de Newton do resfriamento).
A convecção na superfície é descrita pela Lei de Newton do resfriamento (fluxo convectivo por unidade de área):
q_{\text{conv}} é o fluxo de calor por unidade de área transferido do sólido para o fluido (W/m²),
h é o coeficiente de transferência convectiva (W/m²·K),
T(r_{1}) é a temperatura da superfície interna do contêiner,
T_{\infty} é a temperatura do meio distante.
Interpretação: se T(r_{1})>T_{\infty}, o produto h(T(r_{1})-T_{\infty}) é positivo, indicando calor saindo da superfície para o meio.
Passo 4
Condições de continuidade de fluxo na interface sólido–fluido e formulação da condição de contorno diferencial.
No equilíbrio (regime permanente) o fluxo condutivo que chega à superfície do sólido deve ser igual ao fluxo convectivo que sai para o fluido. Assim, por unidade de área:
Esta é a forma padrão da condição de contorno na superfície interna em termos da derivada radial da temperatura.
Passo 5
Forma alternativa usando taxa total de calor (quando for útil ao resolver a equação diferencial).
Se for conveniente trabalhar com a taxa total de calor \dot{Q} atravessando a superfície esférica de raio r_{1}, usa-se a área da esfera A=4\pi r_{1}^{2}. Assim:
Observações sobre sinais e uso prático na resolução da equação diferencial radial.
A forma apresentada em -k\left.\dfrac{dT}{dr}\right|_{r=r_{1}} = h\bigl(T(r_{1})-T_{\infty}\bigr) é a mais usada: ela liga a derivada da temperatura na superfície ao próprio valor de temperatura na superfície.
Se for preciso, pode-se reorganizar para obter a derivada: