Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é
A condutividade térmica do meio é constante ou variável?
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pergunta se a condutividade térmica do meio é constante ou variável.
Informações explícitas: a temperatura é , aparece a constante
(difusividade térmica) e a equação está escrita na forma radial (função de
apenas). A pergunta é sobre a dependência espacial (ou não) da condutividade térmica
.
Informações explícitas: a temperatura é
Passo 2
Vou lembrar a forma geral da equação de calor sem geração de calor, em termos da condutividade
, densidade
e calor específico
:
Aqui
é a massa específica,
é o calor específico, e
é a condutividade térmica (podendo, em princípio, depender de
ou de
). Para simetria esférica (ou apenas dependência radial), o laplaciano radial é
Se
for constante e
também constante, a equação geral fica
Passo 3
Dividindo por
e definindo a difusividade térmica
(assumida constante), obtemos
Multiplicando ambos os lados por
dá exatamente a forma fornecida no enunciado:
Logo essa forma corresponde ao caso em que a difusividade
é constante, o que ocorre quando a razão
é constante.
Passo 4
Agora, e se
variar com
? Escrevendo a forma radial com
temos
Ao expandir a derivada:
onde
. Isso mostra que, se
depender de
(isto é,
), aparece um termo adicional
que não está presente na equação dada. Portanto, para que a equação fornecida seja válida sem termos extras, é necessário que
, isto é,
constante.
Passo 5
Pequena ressalva prática: a equação dada exige que a difusividade
seja constante. Assim, se
variar mas
variar exatamente de modo que a razão
permaneça constante, a forma dada ainda seria válida. Porém, na prática usual (materiais homogêneos onde
e
são constantes), a consequência direta e natural é que
também é constante.
Resposta
Constante.