Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é
\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial T}{\partial r}\right)=\frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}
A condutividade térmica do meio é constante ou variável?

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2} \frac{\partial T}{\partial r}\right)=\frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}
e pergunta se a condutividade térmica do meio é constante ou variável.
Informações explícitas: a temperatura é T(r,t), aparece a constante \alpha (difusividade térmica) e a equação está escrita na forma radial (função de r apenas). A pergunta é sobre a dependência espacial (ou não) da condutividade térmica k.

Passo 2

Vou lembrar a forma geral da equação de calor sem geração de calor, em termos da condutividade k, densidade \rho e calor específico c:
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t}=\nabla\cdot\bigl(k\,\nabla T\bigr).
Aqui \rho é a massa específica, c é o calor específico, e k é a condutividade térmica (podendo, em princípio, depender de r ou de T). Para simetria esférica (ou apenas dependência radial), o laplaciano radial é
\nabla^{2}T=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial T}{\partial r}\right).
Se k for constante e \rho c também constante, a equação geral fica
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t}=k\,\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial T}{\partial r}\right).

Passo 3

Dividindo por \rho c e definindo a difusividade térmica \alpha=\dfrac{k}{\rho c} (assumida constante), obtemos
\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\;\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2}\frac{\partial T}{\partial r}\right).
Multiplicando ambos os lados por 1/\alpha dá exatamente a forma fornecida no enunciado:
\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^{2} \frac{\partial T}{\partial r}\right)=\frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t}.
Logo essa forma corresponde ao caso em que a difusividade \alpha é constante, o que ocorre quando a razão k/(\rho c) é constante.

Passo 4

Agora, e se k variar com r? Escrevendo a forma radial com k(r) temos
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\bigl(r^{2}k(r)\,\partial_{r}T\bigr).
Ao expandir a derivada:
\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\bigl(r^{2}k(r)\,\partial_{r}T\bigr) = k(r)\,\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\bigl(r^{2}\partial_{r}T\bigr) + k'(r)\,\partial_{r}T,
onde k'(r)=\dfrac{dk}{dr}. Isso mostra que, se k depender de r (isto é, k'(r)\neq0), aparece um termo adicional k'(r)\partial_{r}T que não está presente na equação dada. Portanto, para que a equação fornecida seja válida sem termos extras, é necessário que k'(r)=0, isto é, k constante.

Passo 5

Pequena ressalva prática: a equação dada exige que a difusividade \alpha=k/(\rho c) seja constante. Assim, se k variar mas \rho c variar exatamente de modo que a razão k/(\rho c) permaneça constante, a forma dada ainda seria válida. Porém, na prática usual (materiais homogêneos onde \rho e c são constantes), a consequência direta e natural é que k também é constante.

Resposta

Constante.

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