2-93 Um cilindro de massa m escorrega a partir do repouso em um tubo vertical cuja superfície interna está coberta por uma camada de óleo de espessura h. Se o diâmetro e altura do cilindro são respectivamente D e L, derive uma expressão para a velocidade do cilindro como função do tempo t. Discuta o que acontece quando t \rightarrow \infty. Esse dispositivo serve como um viscosímetro?

Passo 1

O enunciado pede para obter a velocidade do cilindro como função do tempo t quando ele escorrega (sem rolar) num tubo vertical cuja parede interna tem uma camada de óleo de espessura h. Os dados e pedidos são:
  • Dados geométricos e físicos: massa do cilindro m, diâmetro D, altura (comprimento) do cilindro L, espessura do filme de óleo h.
  • Condição inicial: o cilindro parte do repouso, isto é, v(0)=0.
  • Pedido 1: derivar uma expressão para a velocidade v(t).
  • Pedido 2: discutir o que acontece quando t\rightarrow\infty.
  • Pedido 3: comentar se esse conjunto pode servir como viscosímetro.
Observação: a resolução a seguir explicita as hipóteses físicas que serão usadas (por exemplo, escoamento de cisalhamento no filme fino, sem efeitos de pressão ao longo do filme, sem rolamento, sem deslocamento apreciável de óleo que gere empuxo significativo etc.). Essas hipóteses serão justificadas passo a passo.

Passo 2

Identificação das forças que atuam no cilindro e modelo físico básico.
  • Força peso para baixo: a magnitude é m g, onde g é a aceleração da gravidade.
  • Força viscosa (de resistência) para cima: o cilindro arrasta a camada de óleo no espaço anular entre sua superfície lateral e a parede do tubo. Se aceitarmos que o filme é fino ( h pequeno comparado a D) e que não há deslizamento relativo além do cisalhamento no filme, o escoamento no filme pode ser aproximado por um escoamento de cisalhamento simples (tipo Couette) com gradiente de velocidade aproximadamente uniforme através da espessura h. Nesse caso a tensão de cisalhamento no óleo é
\tau \approx \eta\,\frac{v}{h},
onde \eta é a viscosidade dinâmica do óleo e v é a velocidade do cilindro relativa à parede fixa do tubo (não há movimento do tubo).
  • Área de contato lateral do cilindro (onde atua a tensão de cisalhamento) é a área lateral
A = \pi D L.
  • Assim, a força viscosa de módulo aproximado é
F_{\text{visc}} \approx \tau \, A = \eta\,\frac{v}{h}\;(\pi D L).
Comentários didáticos rápidos sobre a fórmula de \tau:
  • A lei de Newton para fluidos newtonianos dá \tau = \eta\,\dfrac{\partial u}{\partial y}, onde u é a componente de velocidade tangencial e y é a coordenada atravessando o filme. Se a variação de u across o filme for aproximada por v-0 em comprimento h, então \partial u/\partial y\approx v/h.
  • Essa aproximação é boa quando o filme é fino e a curvatura pode ser desprezada; caso contrário haveria correções geométricas.

Passo 3

Escrevendo a equação do movimento (Segunda Lei de Newton) e organizando como uma ODE linear.
  • Escolhendo para cima o sinal negativo e para baixo positivo, a resultante na direção vertical é
m\,\frac{dv}{dt} = m g - F_{\text{visc}}.
  • Substituindo F_{\text{visc}} obtém-se
m\,\frac{dv}{dt} = m g - \eta\,\frac{v}{h}\;(\pi D L).
  • Reescrevendo, define-se a constante
C \equiv \frac{\eta\,\pi D L}{h},
com unidades de \mathrm{N\,s/m}. A ODE fica
m\,\frac{dv}{dt} + C\,v = m g.
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes constantes. Vou resolver passo a passo (muito didático).

Passo 4

Solução da ODE: encontrar a solução geral e aplicar a condição inicial.
  • A equação tem a forma padrão
\frac{dv}{dt} + \frac{C}{m}\,v = g.
  • Primeiro encontramos a solução estacionária (particular) v_p constante: supondo v_p= constante em tempo, então 0 + \dfrac{C}{m}v_p = g, logo
v_p = \frac{m g}{C}.
  • A solução da homogênea associada é v_h(t) = A\,\exp\!\big(-\tfrac{C}{m}t\big), onde A é constante a determinar pela condição inicial.
  • A solução geral é soma das duas:
v(t) = v_p + v_h(t) = \frac{m g}{C} + A\,\exp\!\big(-\tfrac{C}{m}t\big).
  • Aplicando v(0)=0 (começa do repouso), obtemos
0 = \frac{m g}{C} + A \quad\Rightarrow\quad A = -\frac{m g}{C}.
  • Portanto
v(t) = \frac{m g}{C}\left[1 - \exp\!\left(-\frac{C}{m}t\right)\right].

Passo 5

Expressão final em termos dos parâmetros do problema e interpretação dos parâmetros.
  • Substituindo C=\dfrac{\eta\pi D L}{h} na expressão obtida:
v(t) = \frac{m g}{\dfrac{\eta\pi D L}{h}}\left[1 - \exp\!\left(-\frac{\eta\pi D L}{m h}\,t\right)\right].
  • Simplificando,
v(t) = \frac{m g h}{\eta\pi D L}\left[1 - \exp\!\left(-\frac{\eta\pi D L}{m h}\,t\right)\right].
  • É útil escrever em termos de velocidade terminal \,v_\infty e tempo característico \tau:
v_\infty \equiv \lim_{t\to\infty} v(t) = \frac{m g h}{\eta\pi D L}, \qquad \tau \equiv \frac{m h}{\eta\pi D L}.
Assim
v(t) = v_\infty\left[1 - \exp\!\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right].
Explicação física:
  • A velocidade terminal v_\infty é o ponto em que o peso m g fica exatamente equilibrado pela resistência viscosa C v.
  • A constante de tempo \tau mede em quanto tempo o cilindro atinge uma fração significativa da velocidade terminal (por exemplo, em t=\tau atinge 1-e^{-1}\approx63{,}2\% de v_\infty).
  • O decaimento exponencial aparece porque a resistência viscosa é linear em v (regime de velocidade pequeno com escoamento viscoso linear).

Passo 6

Discussão das hipóteses, validade e sobre ser (ou não) um viscosímetro.
  • Hipóteses feitas:
    1. Filme fino: h\ll D, de modo que a curvatura do gap pode ser desprezada e o gradiente de velocidade no filme aproximado por v/h.
    2. Escoamento puramente viscoso (newtoniano), sem efeitos de pressão axial significativos nem escoamentos de entrada/saída que dominem o comportamento.
    3. Não há rolamento (o cilindro escorrega), ou seja, não consideramos torque ou atrito de rotação.
    4. Deslocamento de óleo que gere empuxo significativo foi desprezado (se o filme é muito fino, o volume de óleo deslocado é pequeno; se houver imersão substancial ou fluidos distintos, seria necessário incluir empuxo).
    5. Regime laminar e baixo número de Reynolds no filme — necessário para que a lei de cisalhamento linear permaneça válida.
  • Consequências práticas:
    • Em princípio, sim: como v_\infty depende inversamente de \eta segundo
    \eta = \frac{m g h}{\pi D L\, v_\infty},medindo v_\infty (ou ajustando a curva v(t) e obtendo v_\infty ou \tau) permite determinar \eta. Portanto o dispositivo funciona como um viscosímetro conceitualmente.
    • Na prática há várias limitações que reduzem a precisão/viabilidade:
      • é preciso conhecer com alta precisão h (espessura do filme), que pode ser difícil de controlar e medir;
      • efeitos de extremidade (entrada/saída do óleo pelo topo/rodapé do cilindro), fugas, micro-lubrificação e descontinuidades podem alterar a resistência efetiva;
      • possibilidade de o cilindro rodar parcialmente, o que muda completamente o tipo de resistência (torque viscoso);
      • se o fluido for não-newtoniano (viscosidade dependente de taxa de cisalhamento), a relação linear entre força e v deixa de valer;
      • sensibilidade a desalinhamento e rugosidade das superfícies.
    • Conclusão prática: “Sim, em princípio serve como viscosímetro”, mas com forte ressalva — apenas se as hipóteses acima forem atendidas e se o experimento for cuidadosamente controlado. Para medições precisas, instrumentos padrão (copo de viscosidade, reômetro, viscometro de queda com geometria calibrada) costumam ser preferíveis.

Resposta

v(t)=\dfrac{m g h}{\eta\pi D L}\left[1-\exp\!\left(-\dfrac{\eta\pi D L}{m h}\,t\right)\right]\n
\displaystyle \lim_{t\to\infty}v(t)=v_{\infty}=\dfrac{m g h}{\eta\pi D L}\n
Em princípio sim: medindo v_{\infty} (ou ajustando v(t)) pode-se obter \eta, mas na prática o dispositivo é sensível a imprecisões em h, efeitos de extremidade, rolamento, não-Newtonianidade e desalinhamento, o que limita sua precisão como viscosímetro.

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