1-56 Calcule a integral.
integral0^pi / 4 tg^4 t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^pi/4 tan^4t,dt. O conteúdo principal envolve identidades trigonométricas e integração de potências de secante. Para resolver, vamos usar a relação tan^2t=sec^2t-1 e a substituição u=tan t quando necessário.

Passo 2

Primeiro, usamos a identidade tan^2t=sec^2t-1 para reescrever tan^4t:
tan^4t=(tan^2t)^2=(sec^2t-1)^2=sec^4t-2sec^2t+1
Com isso, a integral se separa em três partes:
integral0^pi/4tan^4t,dt=integral0^pi/4sec^4t,dt-2integral0^pi/4sec^2t,dt+integral0^pi/41,dt

Passo 3

Agora, calculamos cada parcela. Para integralsec^4t,dt, fazemos a substituição u=tan t, logo du=sec^2t,dt e sec^2t=1+tan^2t=1+u^2. Assim:
integralsec^4t,dt=integralsec^2tcdotsec^2t,dt=integral(1+u^2),du=u^33+u+C=tan^3t3+tan t+C

Passo 4

As outras duas integrais são diretas:
integralsec^2t,dt=tan t+C
integral1,dt=t+C

Passo 5

Juntando tudo e aplicando os limites de 0 a pi/4:
integral0^pi/4tan^4t,dt=l(tan^3t3+tan tr)|0^pi/4-2l(tan tr)|0^pi/4+l(tr)|0^pi/4
No limite superior t=pi/4, tan(pi/4)=1, então
1^33+1 -2cdot1 +pi4=13+1-2+pi4= -23+pi4
No limite inferior tudo é zero. Portanto, o resultado da integral é
pi4-23

Resposta

pi4-23

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