II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I). o) f(x)=ln (1-x)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a série de Maclaurin de f(x)=ln(1-x) e seu raio de convergência. Vamos usar o conteúdo de séries de Taylor/Maclaurin e, em particular, a série geométrica para 1/(1-x).

Passo 2

Lembra da série geométrica:
11-x = sumn=0^infty x^n, |x|<1

Passo 3

Para obter ln(1-x) integramos ambos os lados da série de 1/(1-x) em relação a t de 0 até x. Como
integral0^x 11-t,dt = -ln(1-x)
e
integral0^x t^n,dt = x^n+1n+1,

Passo 4

podemos integrar termo a termo. Integrando termo a termo obtemos
-ln(1-x) = sumn=0^infty x^n+1n+1

Passo 5

Fazendo mudança de índice m=n+1, a soma vira
ln(1-x) = -summ=1^infty x^mm

Passo 6

O raio de convergência permanece o mesmo da série geométrica, ou seja, R=1.

Resposta

ln(1-x) = -sumn=1^infty x^nn, R = 1

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