II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I). o)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a série de Maclaurin de
e seu raio de convergência. Vamos usar o conteúdo de séries de Taylor/Maclaurin e, em particular, a série geométrica para
.
Passo 2
Lembra da série geométrica:
Passo 3
Para obter
integramos ambos os lados da série de
em relação a
de 0 até
. Como
e
Passo 4
podemos integrar termo a termo. Integrando termo a termo obtemos
Passo 5
Fazendo mudança de índice
, a soma vira
Passo 6
O raio de convergência permanece o mesmo da série geométrica, ou seja,
.