Classifique todos os pontos críticos da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar todos os pontos críticos da função:
Isso tá ligado ao conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre pontos críticos e como classificá-los. Pra resolver isso, vamos precisar encontrar onde as derivadas parciais da função são iguais a zero e depois analisar essas soluções para ver se são mínimos, máximos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, vamos igualar essas derivadas a zero e resolver o sistema de equações:
Vamos simplificar a primeira equação dividindo todos os termos por 45:
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ x = 0 $
- $ x = \frac{1}{2}y $
Passo 4
Vamos analisar cada caso separadamente.
Caso 1: $ x = 0 $
Substituindo $ x = 0 $ na segunda equação:
Então, temos dois pontos críticos neste caso: $ (0, 1) $ e $ (0, -1) $.
Caso 2: $ x = \frac{1}{2}y $
Substituindo $ x = \frac{1}{2}y $ na segunda equação:
Vamos calcular:
Então,
Vamos multiplicar tudo por 16 para eliminar os denominadores:
Então, os pontos críticos neste caso são $ \left(\frac{1}{2}(4), 4\right) = (2, 4) $ e $ \left(\frac{1}{2}(-4), -4\right) = (-2, -4) $.
Passo 5
Agora que encontramos os pontos críticos: $ (0, 1) $, $ (0, -1) $, $ (2, 4) $ e $ (-2, -4) $, vamos classificá-los.
Para isso, usamos a segunda derivada e a matriz Hessiana. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana $ H $ é:
E o discriminante $ D $ é dado por:
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico.
Passo 6
Ponto (0, 1):
Como $ D < 0 $, o ponto $ (0, 1) $ é um ponto de sela.
Ponto (0, -1):
Como $ D < 0 $, o ponto $ (0, -1) $ também é um ponto de sela.
Ponto (2, 4):
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, o ponto $ (2, 4) $ é um mínimo local.
Ponto (-2, -4):
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, o ponto $ (-2, -4) $ é um máximo local.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
- $ (0, 1) $ — ponto de sela
- $ (0, -1) $ — ponto de sela
- $ (2, 4) $ — mínimo local
- $ (-2, -4) $ — máximo local