Classifique todos os pontos críticos da função
f(x, y)=15 x^3+y^3-454 x^2 y-3 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar todos os pontos críticos da função:
f(x, y)=15 x^3+y^3-454 x^2 y-3 y
Isso tá ligado ao conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre pontos críticos e como classificá-los. Pra resolver isso, vamos precisar encontrar onde as derivadas parciais da função são iguais a zero e depois analisar essas soluções para ver se são mínimos, máximos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
f(x, y)
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, vamos igualar essas derivadas a zero e resolver o sistema de equações:
45x^2 - 452xy = 0 3y^2 - 454x^2 - 3 = 0
Vamos simplificar a primeira equação dividindo todos os termos por 45:
x^2 - 12xy = 0 Rightarrow x(x - 12y) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ x = 0 $
  2. $ x = \frac{1}{2}y $

Passo 4

Vamos analisar cada caso separadamente.
Caso 1: $ x = 0 $
Substituindo $ x = 0 $ na segunda equação:
x = 0
Então, temos dois pontos críticos neste caso: $ (0, 1) $ e $ (0, -1) $.
Caso 2: $ x = \frac{1}{2}y $
Substituindo $ x = \frac{1}{2}y $ na segunda equação:
x = 0
Vamos calcular:
3y^2 - 454(0)^2 - 3 = 0 Rightarrow 3y^2 - 3 = 0 Rightarrow y^2 = 1 Rightarrow y = pm 1
Então,
(0, 1)
Vamos multiplicar tudo por 16 para eliminar os denominadores:
(0, -1)
Então, os pontos críticos neste caso são $ \left(\frac{1}{2}(4), 4\right) = (2, 4) $ e $ \left(\frac{1}{2}(-4), -4\right) = (-2, -4) $.

Passo 5

Agora que encontramos os pontos críticos: $ (0, 1) $, $ (0, -1) $, $ (2, 4) $ e $ (-2, -4) $, vamos classificá-los.
Para isso, usamos a segunda derivada e a matriz Hessiana. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
(0, 1)
(0, -1)
(2, 4)
A matriz Hessiana $ H $ é:
(-2, -4)
E o discriminante $ D $ é dado por:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 90x - 452y
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico.

Passo 6

Ponto (0, 1):
fxx = 90(0) - 452(1) = -452
fyy = 6(1) = 6
fxy = -452(0) = 0
D = (-452)(6) - (0)^2 = -135
Como $ D < 0 $, o ponto $ (0, 1) $ é um ponto de sela.
Ponto (0, -1):
D < 0
(0, 1)
fxx = 90(0) - 452(-1) = 452
fyy = 6(-1) = -6
Como $ D < 0 $, o ponto $ (0, -1) $ também é um ponto de sela.
Ponto (2, 4):
fxy = -452(0) = 0
D = (452)(-6) - (0)^2 = -135
D < 0
(0, -1)
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, o ponto $ (2, 4) $ é um mínimo local.
Ponto (-2, -4):
fxx = 90(2) - 452(4) = 180 - 90 = 90
fyy = 6(4) = 24
fxy = -452(2) = -45
D = (90)(24) - (-45)^2 = 2160 - 2025 = 135
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, o ponto $ (-2, -4) $ é um máximo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • $ (0, 1) $ — ponto de sela
  • $ (0, -1) $ — ponto de sela
  • $ (2, 4) $ — mínimo local
  • $ (-2, -4) $ — máximo local

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