3.56 Considere os sistemas seguintes nas incógnitas e . Para quais valores de o sistema dado tem solução única e para quais pares de valores o sistema tem mais do que uma solução? O valor de não influi no sistema ter, ou não, solução única. Por quê?
(b)
Passo 1
O enunciado dá o sistema nas incógnitas :
O conteúdo aqui é álgebra linear: vamos usar determinantes para ver quando a matriz de coeficientes é invertível (solução única) e, quando não for, estudar consistência (infinitas ou nenhuma solução).
Passo 2
Escrevemos a matriz de coeficientes e calculamos seu determinante:
De<a = 1 & 2 & 2 1 & a &3 1 &11 & a
Expandindo pela primeira linha,
De<a =1cdotl(acdot a -3cdot11r) -2cdotl(1cdot a -3cdot1r) +2cdotl(1cdot11 -acdot1r)
Se De<aneq0, isto é aneq5 e aneq-1, a matriz é invertível e o sistema tem solução única, qualquer que seja b.
Passo 4
Agora examine
As duas primeiras equações geram a terceira quando combinadas com coeficientes , e o lado direito combinado é . Logo só há soluções (infinitas) se ; caso contrário, o sistema é inconsistente.
Passo 5
Para
Repetindo o mesmo procedimento, a combinação reproduz a terceira equação com lado direito . Assim só há infinitas soluções se ; senão, não há solução.
Passo 6
A razão pela qual b não afeta a existência de solução única é que essa existência depende apenas da invertibilidade da matriz de coeficientes (determinante diferente de zero), e esse determinante não envolve o vetor de termos independentes.
Resposta
O sistema tem solução única para
aneq 5 e aneq -1
Quando a=5 ele tem infinitas soluções se, e somente se, b=7.
Quando a=-1 ele tem infinitas soluções se, e somente se, b=-5.
Caso contrário, para a=5 com bneq7 ou para a=-1 com bneq-5, não há solução.