Encontre a posição relativa entre a reta r e o plano pi :
r:(x, y, z)=(3,0,-1)+(t, t, t), pi : x-2 y+z=-2

Passo 1

O enunciado dá a reta
r:;(x,y,z)=(3,0,-1)+(t,t,t)
e o plano
pi:;x-2y+z=-2
Queremos saber se r intersecta pi, se é paralela ou se está contida. Para isso vamos usar o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano, e também verificar se algum ponto de r satisfaz a equação de pi.

Passo 2

O vetor diretor da reta r é
vec v=(1,1,1),
e o vetor normal do plano pi é
vec n=(1,-2,1)
Se vec v for ortogonal a vec n, então a reta é paralela ao plano.

Passo 3

Calculamos o produto escalar:
vec vcdotvec n =1cdot1 + 1cdot(-2) + 1cdot1 =1-2+1=0
Como deu zero, vec vperpvec n e logo a reta é paralela ao plano.

Passo 4

Para saber se ela está contida ou simplesmente não o intercepta, substituímos
x=3+t, y=t, z=-1+t
na equação do plano:
(3+t)-2(t)+(-1+t) =3+t-2t-1+t =2
Isso dá sempre 2, que nunca é igual a -2. Portanto não existe t que coloque um ponto de r em pi.

Resposta

A reta r é paralela ao plano pi e não o intercepta.

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