Encontre a posição relativa entre a reta r e o plano pi :
r:(x, y, z)=(0,1,-1)+(3 t,-2 t, t), pi: 3 x-y+4 z-2=0

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa entre a reta r e o plano pi.
Conteúdo: estudo de interseção entre reta e plano no espaço.
Vamos usar que, dado o vetor normal n do plano e o vetor diretor v da reta, se
ncdot v neq 0
a reta corta o plano em um único ponto (é secante); se
ncdot v = 0
então ou a reta é paralela ao plano (sem interseção) ou está contida nele (se o ponto inicial satisfizer a equação do plano).

Passo 2

Extraímos o vetor normal do plano pi:3x-y+4z-2=0 e o vetor diretor da reta
n = (3,,-1,;4), v = (3,,-2,;1)

Passo 3

Calculamos o produto escalar
ncdot v = 3cdot3 + (-1)cdot(-2) + 4cdot1 = 9 + 2 + 4 = 15 neq 0
Como ncdot vneq0, concluímos que a reta não é paralela ao plano e, portanto, intersecta-o em exatamente um ponto.

Passo 4

Para achar esse ponto, substituímos a parametrização
x=3t, y=1-2t, z=-1+t
em pi:
3(3t)-l(1-2tr)+4(-1+t)-2=0 Longrightarrow 15t-7=0 Longrightarrow t=tfrac715
Então o ponto de interseção é
l(3cdottfrac715,;1-2cdottfrac715,;-1+tfrac715r) =l(tfrac75,;tfrac115,;-tfrac815r)

Resposta

A reta r é secante ao plano pi, pois intersecta-o num único ponto l(tfrac75,tfrac115,-tfrac815r).

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