Encontre a posição relativa entre a reta r e o plano pi :
r:(x, y, z)=(2,0,0)+(t, t,-2 t), pi: x+y+z-3=0

Passo 1

O enunciado dá a reta
r: (x,y,z) = (2,0,0) + t,(1,1,-2)
e o plano
pi: x + y + z - 3 = 0
Queremos a posição relativa entre r e pi. Para isso vamos usar o produto escalar entre o vetor diretor de r e o vetor normal de pi, e depois verificar se algum ponto de r pertence a pi.

Passo 2

O vetor diretor de r é
vec v = (1,1,-2),
e o vetor normal de pi é
vec n = (1,1,1)
Calculamos o produto escalar
vec v cdot vec n = 1cdot 1 + 1cdot 1 + (-2)cdot 1 = 1 + 1 - 2 = 0
Como vec v cdot vec n = 0, temos vec v ortogonal a vec n, ou seja, a reta r é paralela ao plano pi (pode ser paralela de fora ou estar contida).

Passo 3

Para saber se r está contida em pi ou apenas paralela, substituímos o ponto inicial P=(2,0,0) de r na equação de pi:
2 + 0 + 0 - 3 = -1 neq 0
Logo Pnotinpi, e portanto r não está contida em pi.

Resposta

A reta r é paralela ao plano pi e não o intersecta.

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