( 56 pontos) Calcule os limites indicados a seguir, determinando se cada um deles converge para um número real L, diverge para +infty ou -infty, ou se o limite não existe. Justifique suas respostas sempre que necessário.
lim x 2 x^3-8x-2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limx to 2 x^3-8x-2.
O conteúdo aqui é limites de funções que apresentam forma indeterminada 0/0; vamos usar a fatoração de diferença de cubos:
a^3 - b^3 = (a-b),(a^2 + ab + b^2)

Passo 2

Verificamos a substituição direta x=2:
numerador = 2^3 - 8 = 0, denominador = 2 - 2 = 0,
logo temos indeterminação do tipo 0/0 e podemos aplicar fatoração.

Passo 3

Aplicando a fatoração de x^3 - 2^3:
x^3 - 8 = (x - 2),(x^2 + 2x + 4)
Para x neq 2 podemos simplificar:
x^3 - 8x - 2 = x^2 + 2x + 4

Passo 4

A função x^2 + 2x + 4 é um polinômio, logo contínua em todo ponto. Portanto
limx to 2 x^3 - 8x - 2 = limx to 2 (x^2 + 2x + 4) = 2^2 + 2cdot2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12

Resposta

12

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