Encontre a solução geral das seguintes EDOs.
x^3 y^prime prime prime+4 x^2 y^prime prime-8 x y^prime+8 y=0 (x>0)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
x^3y'''+4x^2y''-8x,y'+8y=0, x>0
O conteúdo é EDO de coeficientes variáveis do tipo Cauchy–Euler. Para resolver, vamos tentar uma solução da forma y=x^r.

Passo 2

Supondo y=x^r, calculamos as derivadas:
y'=r,x^r-1, y''=r(r-1),x^r-2, y'''=r(r-1)(r-2),x^r-3

Passo 3

Substituindo na EDO e fatorando x^r, obtemos
x^3l[r(r-1)(r-2)x^r-3r] +4x^2l[r(r-1)x^r-2r] -8xl[r,x^r-1r] +8,x^r=0
Longrightarrow x^rl(r(r-1)(r-2)+4r(r-1)-8r+8r)=0

Passo 4

A equação característica é
r(r-1)(r-2)+4r(r-1)-8r+8=0,
que, ao expandir, vira
r^3+r^2-10r+8=0

Passo 5

Testando raízes inteiras, r=1 satisfaz a equação. Dividindo o polinômio por (r-1) fica
r^2+2r-8=0,
cuja resolução dá r=2 e r=-4.

Passo 6

As raízes r1=1, r2=2, r3=-4 são reais e distintas. Logo, a solução geral é
y=C1x^1+C2x^2+C3x^-4,
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y=C1x+C2x^2+C3x^-4

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