Para as funções dadas abaixo calcule lim h 0 f(x+h)-f(x)h.
Use a definição para encontrar a primeira derivada de cada uma das funções abaixo.
f(x)=x-12 x+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x-12x+3 usando a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Vamos montar o quociente de diferença, manipular algebricamente e só então tomar o limite.

Passo 2

Primeiro, substituímos x por x+h em f:
f(x+h)=(x+h)-12(x+h)+3=x+h-12x+2h+3

Passo 3

Agora escrevemos o quociente de diferença:
f(x+h)-f(x)h = x+h-12x+2h+3-x-12x+3h

Passo 4

Colocamos as duas frações sobre o mesmo denominador e juntamos:
f(x+h)-f(x)h =1h;(x+h-1)(2x+3)-(x-1)(2x+2h+3)(2x+2h+3)(2x+3)

Passo 5

Expandindo o numerador:
(x+h-1)(2x+3)=2x^2+2xh+x+3h-3, (x-1)(2x+2h+3)=2x^2+2xh+x-2h-3
Subtraindo um do outro sobra
(2x^2+2xh+x+3h-3)-(2x^2+2xh+x-2h-3)=5h
Logo
f(x+h)-f(x)h =5hh,(2x+2h+3)(2x+3) =5(2x+2h+3)(2x+3)

Passo 6

Falta tomar o limite quando hto0. Então 2x+2h+3to2x+3 e
f'(x) =limhto05(2x+2h+3)(2x+3) =5(2x+3)^2

Resposta

f'(x)=5(2x+3)^2

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