Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim x +infty(1+1x)^x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyl(1+tfrac1xr)^x^2
Este é um limite do tipo exponencial com indeterminação infty^infty. Para resolver, vamos usar a técnica de tomar o logaritmo e depois voltar à forma exponencial.

Passo 2

Defina
L = limxto+inftyl(1+tfrac1xr)^x^2
Se existir no sentido estendido, podemos escrever
L = expl(limxto+inftyx^2lnl(1+tfrac1xr)r)
Logo basta estudar
limxto+inftyx^2lnl(1+tfrac1xr)

Passo 3

Usamos a expansão em série de Taylor para ln(1+u) quando uto0:
ln(1+u)=u-tfracu^22+o(u^2)
Colocando u=1/x, obtemos
lnl(1+tfrac1xr) =tfrac1x-tfrac12x^2+ol(tfrac1x^2r)
Multiplicando por x^2:
x^2lnl(1+tfrac1xr) =x-tfrac12+o(1)
À medida que xto+infty, isso tende a +infty.

Passo 4

Como
limxto+inftyx^2lnl(1+tfrac1xr)=+infty,
temos
L=exp(+infty)=+infty

Resposta

+infty

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